第一节 线性代数与方程的关系(笔记)
本笔记在Gilbert Strang教授教学基础上,增加了我自己的理解,如有不妥之处,还请大家批评指正。教授的学习视频如下:
方程组的几何解释
1、线性代数的基本问题
求解线性方程组是线性代数的基本问题。下面我们围绕一个二元一次方程组讨论相关内容。
2、从行图像理解方程组
从几何意义角度出发,方程组中每一个等式代表一个直线。
用python画出两个方程的图像:
两条直线相交于(1,2)。
3、从列图像理解方程组
从系数角度来考虑问题,将变量和系数分开组成新的形式。
变量x、y的系数都是以向量的形式表示。这两个向量经过x和y放大组合后变成向量
(1,2)是方程组的解,此时的线性组合的图像如下:
4、方程组的矩阵形式
我们再把列图像的代数形式进一步深化,也就是已知的方程组系数放一起,变量放一起,于是形成了系数矩阵和变量向量相乘的形式。
令:
方程组就简化成了:
与此同时,我们发现了两种计算b的方式:
为什么X是列向量的形式而不是行向量的形式?
我们将AX=b简化成行和列的数量:A:(2,2)、X:(2,1)、b:(2,1)。在这样的组合中,A是2行,X是两行,相乘后b是2行;A是2列,X是1列,最后相乘b变成1列,我们可以理解为A决定b的行数,X决定b的列数。如果我们把X:(1,2),也就是行向量的形式[x, y],那么A是2行,X是1行,相乘b是2行;而A是2列,X是2列,最后b却是1列,这个规则没法解释。
(1) 行计算
行计算是根据方程组获得。
其中:
我们推广到一般的形式
进一步我们可以推广到三元一次方程...
(2) 列计算
列计算的方式是根据方程组的向量组合形式获得
b就是A中列向量的线性组合。
5、小结##
线性代数是由求解线性方程组引出。有两种理解方程组的形式:第一种是我们一直都学习的一个方程一个图像的形式,方程组的解就是这些图形相交的部分;第二种是向量的形式,向量形式将方程组简化为向量方程式,其解就是线性组合的系数。再第二种的基础上,又延伸出方程组的矩阵形式,这种形式将方程组中已知的系数和未知的变量从形式上区分开来。同时有行图像和列图像,我们理解了矩阵形式的乘法含义。