常用算法思想复习之<递归与分治>

1、概述

在解决一些复杂问题，特别是解决一些规模较大的问题时，常常将问题进行分解。具体来说，

就是将一个规模较大的问题分割成规模较小的同类问题，然后将这些小的问题逐个加以解决，

最终也就将整个大的问题解决了。这种分而治之的思想称为分治的思想。

所谓递归算法，就是一种直接或间接地调用原算法本身的一种算法。递归与分治的算法思想

往往相伴而生。

2、问题实例

例：求正整数不同的划分个数。

1）问题解释：将一个正整数n表示成一系列正整数之和：

　　　　　n=n1+n2+......+nk

称为正整数n的一个划分。求正整数n的不同划分个数。

2）问题分析

根据正整数划分的定义，可以总结出一下规律：

设标记P(n,m)表示正整数n的所有不同划分中，最大加数不大于m的划分个数。

如：p(6,2)表示6的最大加数不大于2的所有划分

p(n,1)=1, n>=1;

正整数n的划分中加数不大于1的划分数只有一种

p(n,m)=p(n,n), m>=n;

不存在最大加数大于n的正整数n的划分

p(n,n)=p(n,n-1)+1

最大加数为n的正整数n的划分只有一种

p(n,m)=p(n,m-1)+p(n-m,m),  n>m>1;

p(n,m)=p(n,m-1)+n的最大加数为m的划分个数

n的最大加数为m的划分个数记为：q(n,m)

则q(n,m)=p(n-m,m),因为n-m的划分的个数决定了q(n,m)的

划分个数，又q(n,m)中最大加数为m所以n-m的划分中最大加数

也为m。故q(n,m)=p(n-m,m),即，p(n,m)=p(n,m-1)+p(n-m,m)

根据以上规律可以写出递归程序：

 

int P（int  n, int m)
{
      if(m==1 || n==1)    return  1;
      if(m>n)      return  P(n,n);
      if(m==n)    return  P(n,m-1)+1;
      return  P(n,m-1)+P(n-m,m);
     
}