斜率优化做题笔记

P4360 [CEOI2004] 锯木厂选址

令 $f_i$ 表示仅在 $i$ 位置修建一个锯木厂的最小费用，$di{s}_i$ 表示从山脚到 $i$ 位置的距离，$su{m}_i$ 表示从山顶到 $i$ 位置的木材重量和，可以直接预处理出来。

那么第二个锯木厂修建在位置 $i$ 的费用就是 $min\{f_j-di{s}_i\times (su{m}_i-su{m}_j)|j<i\}$。

考虑两个转移点 $j<k$，若 $j$ 对于当前位置 $i$ 更优，那么：

$$f_j-di{s}_i\times (su{m}_i-su{m}_j)<f_k-di{s}_i\times (su{m}_i-su{m}_k)$$

$$f_j-f_k<di{s}_i\times (su{m}_k-su{m}_j)$$

$$\frac{f_k-f_j}{su{m}_k-su{m}_j}>-di{s}_i$$

$-di{s}_i$ 随着 $i$ 增大单调不降，维护 $(sum,f)$ 的下凸包。

P2120 [ZJOI2007] 仓库建设

令 $f_i$ 表示在 $i$ 工厂建立仓库，$i+1\sim n-1$ 工厂不建立仓库的最小费用。对成品数量 $p$ 做一遍前缀和。

转移直接枚举上一个建立的仓库位置：

$$f_i=min\{f_j-(p_i-p_j)\times (x_n-x_i)+c_i|j<i\}$$

考虑两个转移点 $j<k$，若 $j$ 对于当前位置 $i$ 更优：

$$f_j-(p_i-p_j)\times (x_n-x_i)+c_i<f_k-(p_i-p_k)\times (x_n-x_i)+c_i$$

$$f_j-f_k<(x_n-x_i)\times (p_i-p_j-p_i+p_k)$$

$$\frac{f_k-f_j}{p_k-p_j}>x_i-x_n$$

$x_i-x_n$ 随着 $i$ 增大单调递增，维护 $(p,f)$ 的下凸包。

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可惜这个做法被 hack 了，因为 $p_n$ 可能为 $0$，最后一个工厂不一定要建仓库，所以不能在前面就把后面的贡献计算好。

令 $f_i$ 表示只考虑前 $i$ 个工厂并在 $i$ 工厂建立仓库的最小费用。

转移直接枚举上一个建立的仓库位置：

$$f_i=min\{f_j+(\sum _{l=j+1}^i(x_i-x_l)\times p_l)+c_i|j<i\}$$

$$f_i=min\{f_j+(\sum _{l=j+1}^i{x}_i\times p_l)-(\sum _{l=j+1}^i{x}_l\times p_l)+c_i|j<i\}$$

令 $s_i$ 表示 $x_i\times p_i$ 的前缀和数组，然后对 $p$ 做一遍前缀和：

$$f_i=min\{f_j+x_i\times (p_i-p_j)-(s_i-s_j)+c_i|j<i\}$$

考虑两个转移点 $j<k$，若 $j$ 对于当前位置 $i$ 更优：

$$f_j+x_i\times (p_i-p_j)-(s_i-s_j)+c_i<f_k+x_i\times (p_i-p_k)-(s_i-s_k)+c_i$$

$$f_j-x_i\times p_j+s_j<f_k-x_i\times p_k+s_k$$

$$f_j-f_k+s_j-s_k<x_i\times p_j-x_i\times p_k$$

$$\frac{f_k-f_j+s_k-s_j}{p_k-p_j}>x_i$$

$x_i$ 随着 $i$ 增大单调递增，维护 $(p,f+s)$ 的下凸包。

如果中途出现了分母为 $\mathbf{0}$ 的情况，斜率应视为无穷大乘上纵坐标差的符号。因为下凸包横坐标相同时应保留纵坐标较小的点，加入一个纵坐标更小的点时队首会被弹掉，加入一个纵坐标更大的点时队尾会被弹掉，所以始终只保留了纵坐标最小的一个点。

最后答案就在最后一个 $\mathit{p}\mathbf{>}\mathbf{0}$ 的位置到 $\mathit{n}$ 中。

P3195 [HNOI2008] 玩具装箱

令 $f_i$ 表示前 $i$ 个玩具都已经放入容器的最小费用。对一维长度 $C$ 做一遍前缀和。

转移直接枚举上一段结尾：

$$f_i=min\{f_j+(i-j-1+C_i-C_j-L{)}^2|j<i\}$$

考虑两个转移点 $j<k$，若 $j$ 对于当前结尾 $i$ 更优：

$$f_j+(i-j-1+C_i-C_j-L{)}^2<f_k+(i-k-1+C_i-C_k-L{)}^2$$

$$f_j-f_k<(C_i+i-L-1-C_k-k{)}^2-(C_i+i-L-1-C_j-j{)}^2$$

为了避免式子太长，设 $t=C_i+i-L-1$

$$f_j-f_k<(t-C_k-k{)}^2-(t-C_j-j{)}^2$$

$$f_j-f_k<t^2-2\times t\times (C_k+k)+(C_k+k{)}^2-t^2+2\times t\times (C_j+j)-(C_j+j{)}^2$$

$$f_j+(C_j+j{)}^2-f_k-(C_k+k{)}^2<2\times t\times (C_j+j-C_k-k)$$

$$\frac{f_k+(C_k+k{)}^2-f_j-(C_j+j{)}^2}{C_k+k-C_j-j}>2\times t$$

$t$ 随着 $i$ 增大单调递增，维护 $(C_i+i,f_i+(C_i+i{)}^2)$ 的下凸包。

P3648 [APIO2014] 序列分割

首先分的顺序不影响最后的总得分。假设三块内部的元素和分别是 $a,b,c$，显然 $c(a+b)+ab=a(b+c)+bc=ab+ac+bc$。每次分三块讨论就可以适用于所有情况。

令 $f_{i,l}$ 表示前 $i$ 个元素分成 $l$ 块的最大总得分。对元素 $a$ 做一遍前缀和。

外层枚举 $l$，转移就枚举分界点，把当前这一块新加入进去：

$$f_{i,l}=min\{f_{j,l-1}+a_j\times (a_i-a_j)|l-1\le j<i\}$$

考虑两个转移点 $j<k$，若 $j$ 对于当前分界点 $i$ 更优：

$$f_{j,l-1}+a_j\times (a_i-a_j)>f_{k,l-1}+a_k\times (a_i-a_k)$$

$$f_{j,l-1}-f_{k,l-1}+a_k^2-a_j^2>a_k\times a_i-a_j\times a_i$$

$$\frac{f_{k,l-1}-a_k^2-(f_{j,l-1}-a_j^2)}{a_k-a_j}<-a_i$$

$-a_i$ 随着 $i$ 增大单调不增，维护 $(a_i,f_{i,l-1}-a_i^2)$ 的上凸包。

因为 $0$ 选不选无所谓，所以这题可以删去所有 $0$ 来避免出现分母为 $0$ 的情况。当然，如果大于 $0$ 的元素太少了，就把没选过的那些空位塞进来即可。

P3628 [APIO2010] 特别行动队

令 $f_i$ 表示前 $i$ 个士兵组成特别行动队的最大修正战斗力之和。对初始战斗力做一遍前缀和。

转移还是枚举上一组结尾：

$$f_i=\{f_j+a\times (x_i-x_j{)}^2+b\times (x_i-x_j)+c|j<i\}$$

考虑两个转移点 $j<k$，若 $j$ 对于当前结尾 $i$ 更优：

$$f_j+a\times (x_i-x_j{)}^2+b\times (x_i-x_j)+c>f_k+a\times (x_i-x_k{)}^2+b\times (x_i-x_k)+c$$

$$f_j-f_k>a\times (x_i^2-2\times x_i\times x_k+x_k^2-x_i^2+2\times x_i\times x_j-x_j^2)+b\times (x_i-x_k-x_i+x_j)$$

$$f_j-f_k>a\times x_k^2-2\times a\times x_i\times x_k-a\times x_j^2+2\times a\times x_i\times x_j-b\times x_k+b\times x_j$$

$$\frac{f_k+a\times x_k^2-b\times x_k-f_j-a\times x_j^2+b\times x_j}{x_k-x_j}<2\times a\times x_i$$

$2\times a\times x_i$ 随着 $i$ 增大单调递减，维护 $(x,f+a\times x^2-b\times x)$ 的上凸包。