CF453C Little Pony and Summer Sun Celebration

如果一个点需要经过奇数次我们称其为奇点，偶数次则称其为偶点。

考虑不合法的情况，有任意两个奇点不连通，因为不经过也是经过偶数次。

那么需要处理的部分就是包含奇点的唯一一个连通块。先随意撸出一棵生成树，然后正常地 DFS 下去。显然有些结点可能不符合要求的奇偶性，对于父亲结点 $u$ 和儿子结点 $v$，可以通过添加 $u\to v\to v$ 这一步使得 $u$ 和 $v$ 的奇偶性均发生改变。所以我们在处理完以 $v$ 为根的子树后（即子树除了 $v$ 都符合要求），如果 $v$ 不符合要求，就进行这个操作。

最后只剩下根结点，特别地，如果根结点不符合要求就去掉最后一步（不回到根结点）。

每个非根结点至多做一次操作，每次操作花费 $2$ 步，再加上最开始 DFS 的 $2n-1$ 步，所以序列长度至多是 $4n-3$，可以放心通过。