洛谷P4571 [JSOI2009] 瓶子和燃料

题目

https://www.luogu.com.cn/problem/P4571

思路

首先观察并且简单模拟一下火星人取燃料的过程，发现最终燃料的量一定是他选的k个瓶子容量的线性组合（观察操作3就知道）。火星人的抠门，就是说他会找到这些线性组合当中最小的正整数结果\(y\)。

让我们用式子描述一下，设k个瓶子的容量分别为\(x_1,x_2,...x_k\)，那么有不定方程\(a_1x_1+a_2x_2+...+a_kx_k=y\)，我们要求的就是使方程有解的最小的\(y\)。

然后根据裴蜀定理，\(y_{min}=gcd(x_1,x_2,...,x_k)\)，题目就变成了要选k个数使得他们gcd值最大。

先不考虑时间复杂度，看看怎么保证正确性，首先gcd一定是某个\(a[i]\)的因数，那我们就对每个\(a[i]\)求一遍因数，然后该因数所对应的计数器++(我们先不考虑怎样计数)。最后查一下计数器\(\geq k\)的值。

考虑下总共有多少因数，一个数的除数函数\(\sigma_0(a)\)有个不紧的上界\(2\sqrt a\)，总共1000个数，每个数因数个数小于1e5（事实上肯定远远小于），所以我们写个哈希再开个数组计数就行了。

然后就是时间复杂度的问题。求一个数的因数要实打实的\(\sqrt a\)，总计是\(10^8\)级别，就很容易挂，得想办法优化一下。

①对于质数，它只有本身是有贡献的，根本不用继续试除，我们写个miller_rabin把素数判掉。

②维护一个全局ans值保存当前最大合法gcd值，如果在试除过程中不可能再有因子大于ans了就跳出。

③预先将a数组大到小排序，可能有助于提前找到很大的最优解。

加了这几个优化之后跑得飞快（287ms）。

代码

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#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
int prime[10]={0,2,3,5,7,11};
int n,k,ans=0;
int a[1010];
const int zzd=233333;
struct Hashmap{
    int fst[zzd],nxt[1000000],cnt,val[1000000];
    Hashmap(){cnt=0;}
    int insert(int x){
        nxt[++cnt]=fst[x%zzd];
        val[cnt]=x;
        fst[x%zzd]=cnt;
        return cnt;
    }
    int find(int y){
        int i=fst[y%zzd];
        while(i){
            if(val[i]==y) return i;
            i=nxt[i];
        }
        return 0;
    }
} H;
int c[1000000];
ll qpow(ll x,ll p,ll m){
    ll ans=1,base=x;
    for(;p;p>>=1){
        if(p&1) ans=ans*base%m;
        base=base*base%m;
    }
    return ans;
}
int miller_rabin(ll x){
    if(x==1) return 0;
    ll y=x-1;
    int i,j,u=0;
    while(!(y&1ll)) y>>=1,u++;
    for(i=1;i<=5;++i){
        if(x==prime[i]) return 1;
        if(!(x%prime[i])) return 0;
        ll q=qpow(prime[i],y,x);
        for(j=0;j<=u;++j){
            if((q*q)%x==1&&q!=1&&q!=x-1) return 0;
            if(j==u&&q!=1) return 0;
            q=q*q%x;
        }
    }
    return 1;
}
bool cmp(ll x,ll y){
    return x>y;
}
void dec(int y){
    int i,z;
    int x=y,lim=(int)sqrt(x)+1;
    for(i=1;i<=lim;++i){
        if(x%i) continue;
        if(x/i<=ans) break;
        z=H.find(i);
        if(!z) z=H.insert(i);
        if(++c[z]>=k) ans=max(ans,i);
        
        z=H.find(x/i);
        if(!z) z=H.insert(x/i);
        if(++c[z]>=k) ans=max(ans,x/i);
        if(i==1&&miller_rabin(x)) break;
    }
    return;
}
int main(){
    int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(i=1;i<=n;++i){
        if(a[i]<=ans) break;
        dec(a[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    // system("pause");
    return 0;
}