codeforces 1453D Checkpoints

题目

http://codeforces.com/problemset/problem/1453/D

1453？精罗震怒！

题意

这是一个闯关游戏，一些关卡有标记，一些没有（规定1号节点是有标记的）。玩家按顺序闯关，如果在第\(i\)关挑战成功，进入第\(i+1\)关；如果失败，返回关卡\(1-i\)中最靠后的有标记的关卡\(j\)。

返回之后，\(j\)及\(j\)之后的关卡需要重新挑战，成功和失败的结果同上面一样。通过最后一关后，游戏结束。

玩家在每一关的成功概率都为\(\frac{1}{2}\)，现给定一个k，让你构造一组关卡（0表示无标记，1表示有标记），使得玩家的期望挑战次数正好为k。

思路

这是一道构造题。

先设一个函数\(f(x)\)，表示进入了第\(x\)关后期望挑战次数。

假设共有\(n\)关（\(n\)未知），钦定第\(n\)关为1，那么有\(f(n)=2\)

假设第\(i\)关为\(1\)，那么\(f(i)=\frac{1}{2}f(i)+\frac{1}{2}f(i+1)+1\)，移项整理得\(f(i)=f(i+1)+2\)，也就是说，每一个1，对答案的贡献为2。（小数据就这么水过去了）。

假设第\(1\)关为\(1\),而第\(2\)关为\(0\)，那么有方程组\(\left\{\begin{array}\\f(2)=\frac{1}{2}f(3)+\frac{1}{2}f(1)+1\\f(1)=\frac{1}{2}f(2)+\frac{1}{2}f(1)+1 \end{array}\right.\),消元得到\(f(1)=f(3)+6\)，易知对于任意位置的这种串，该关系依然成立，所以之后我们就以第\(1\)关作为开头。

假设第\(1\)关为\(1\),第\(2，3\)关为\(0\)，有方程组\(\left\{\begin{array}\\f(3)=\frac{1}{2}f(4)+\frac{1}{2}f(1)+1\\f(2)=\frac{1}{2}f(3)+\frac{1}{2}f(1)+1\\f(1)=\frac{1}{2}f(2)+\frac{1}{2}f(1)+1 \end{array}\right.\),解得\(f(1)=f(4)+14\)。

观察一下：
\(2\)
\(6=2+4\)
\(14=2+4+8\)

大胆猜想,连续\(i\)个\(0\)对答案的贡献为\(2+4+...+2^{i+1}\)（可能数学归纳法可以证？但是我太懒^▽），最终的序列可以表示为 1 00...1 00...1.... 这种形式

大体思路就是这样，有一些细节或者边界条件处理一下就好（还是比较烦的）。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int ans[2001],cnt=0;
ll d[100];
int main(){
    int i,j,n,m,t;
    ll k;
    scanf("%d",&t);
    d[0]=2;
    for(i=1;i<=60;i++)
        d[i]=d[i-1]+(1ll<<i+1);
    while(t--){
        scanf("%lld",&k);
        if(k&1){
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        if(k==2){
            printf("1\n1\n");
            continue;
        }
        ll n=k-2;
        cnt=1;
        ans[1]=1;
        while(n>0){
            i=0;
            while(d[i]<=n&&i<=60){
                i++;
            }
            i--;
            for(j=1;j<=i;j++)
                ans[++cnt]=0;
            n-=d[i];
            ans[++cnt]=1;
        }
        printf("%d\n",cnt);
        for(i=1;i<=cnt;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}