XJTUOJ #1149 czq的模k异或

题目描述

给定一个长度为\(n\)初始全为0的数列，下标从1开始。定义操作模k异或v为对所有满足\(i\equiv 0\:(mod\:k)\)的下标\(i\)，将\(a_i\)异或上整数\(v\)（即令\(a_i=a_i\bigoplus\:v\) ）。

给出\(q\)次操作，每次操作之后输出序列的异或和，并且在操作结束之后输出整个序列。

序列的异或和为\(a_1\bigoplus a_2\bigoplus ...\bigoplus a_n\)

输入格式

第一行两个整数\(n,q\)。

接下来q行，每行两个整数\(k_i,v_i\)。

输出格式

输出共\(q+1\)行，其中前\(q\)行每行一个整数，为每次操作结束后的序列的异或和。

最后一行为操作结束后的序列。

数据范围

\(1\leq n,q\leq 2*10^5\)

\(0\leq k_i,v_i\leq 10^9\)

思路

可以发现有两个子问题，其中第一个：求每次操作完后数列的异或和，是简单的。

由\(x\bigoplus x=0\)可得，只要求出1-n中有多少个数是\(k_i\)的倍数，如果是奇数个，那么答案异或上\(v_i\)，如果是偶数个，答案不变。

对于第二个子问题，可以想到，既然操作是位运算，那么应该把每一位拆开来处理，我们把初始数组a拆成31个0/1数组，那我们对0/1数组进行操作，就只需要考虑\(k_i\)
（因为异或\(v_i\)相当于对\(v_i\)每一位对应的0/1数组进行操作）。

考虑维护1个0/1数组，每次操作是对于\(k|i\)，\(a[i]\bigoplus =1\),那么可以维护所有的k（相同的合并），对于每个个数为奇数的k扫一遍。可是这样最坏情况下不是\(n^2\)的时间复杂度吗？

其实考虑到相同的k会被合并，最坏情况是\(k=1,2,...n\)，执行次数为\(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{n}\)。不会超时。

然后把31个0/1数组的信息合并就是最后的答案数组。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define maxn 200010
using namespace std;
int a[maxn],x,y,op[32][maxn];
int main(){
    int i,j,n,m,sum=0,x,y,k,N=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(x>n){
            printf("%d\n",sum);
            continue;
        }
        if(x>N) N=x;
        if((n/x)&1) sum^=y;
        for(j=0;j<31&&(1<<j)<=y;++j){
            if((1<<j)&y) op[j][x]^=1;
        }
        printf("%d\n",sum);
    }
    for(i=0;i<31;i++){
        for(j=1;j<=N;j++){
            if(!op[i][j]) continue;
            for(k=j;k<=n;k+=j)
                a[k]^=(1<<i);
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}