【黑科技学习】光速幂

昨天写了一道题，大概是这样的，给出一个三阶递推数列，求第\(n\)项的值。然后本蒟蒻大力推通项，搞出了\(\frac{(4n-13)*3^{n+2}+36+15*(-1)^n}{32}\)这个东西。

题目有\(T\)组询问（\(1\leq T\leq 5*10^7\)），每次询问的\(n\)在long long范围内，且要求对\(1e9+7\)取模。当时没想那么多，直接一发快速幂提交了，然后大数据的点全T掉了。。。

回过头去发现对于单个\(n\)的求值要求O(1)完成。思考一番，由于\(p=1e9+7\)是质数，所以由费马小定理得\(a^{p-1}\equiv 1（mod p）\)，然后求快速幂时传过去的指数可以变成\(n\) \(mod\) \((p-1)\)，

单次求解复杂度变成了原来的一半，还是会T。之后又考虑了各种卡常，没有用。然后就滚去参考（抄袭）题解了。

发现唯一的不同就是高次幂的求法。\(p\)是在\(2^{32}\)以内，如果我们以\(2^{16}=65536\)作为一个基准，那么所有的指数都可以表示为\(n/65536*65536+n\:mod\: 65536\)这种形式（这里/号是整除）。

这有什么用呢？接下来指数\(\leq 65536\)的数原样不变，指数\(>65536\)的写成\((3^{65536})^{n/65536}*3^{n\: mod\: 65536}\)。开两个数组，一个表示\(3^i\)，一个表示\((3^{65536})^i\)。

由于之前的等价处理，所以n变成了\(1e9+7\)以内的数，所以\(\frac{n}{65536}\leq 65536\)，不会炸空间；而预处理两个数组之后单次求解的时间复杂度是O(1)，写题解的神仙把它取名叫光速幂。

注意：上文对n的变换只用于快速幂步骤，前面的\(4n-13\)还是要用原来的\(n\)去算的。

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5517

代码就不贴了，相信大家都能自己写出来。