大一下 离散数学 图论 20240611

欧拉回路（Eulerian Circuit）

欧拉回路是一条通过图中的每一条边恰好一次并最终回到起点的闭合路径。如果一个图包含欧拉回路，那么这个图被称为欧拉图。欧拉图必须满足以下条件：

图是连通的，即任意两个顶点之间都存在路径相连。
每个顶点的度（与该顶点相连的边的数量）都是偶数。
例子：
假设有一个图，顶点为A、B、C、D，边为AB、BC、CD、DA，每条边连接两个顶点，且每个顶点的度都是2（偶数）。这个图可以有一个欧拉回路，例如：A→B→C→D→A。

哈密尔顿图（Hamiltonian Graph）

哈密尔顿图是指图中存在一条哈密尔顿回路或哈密尔顿路径。哈密尔顿回路是一条经过每个顶点恰好一次并最终回到起点的闭合路径；而哈密尔顿路径则是一条经过每个顶点恰好一次但不回到起点的路径。如果一个图包含哈密尔顿回路或路径，那么这个图就被称为哈密尔顿图。

例子：
假设有一个图，顶点为W、X、Y、Z，边为WX、XY、YZ、WZ。这个图可以有一个哈密尔顿回路，例如：W→X→Y→Z→W。同时，它也可以有一个哈密尔顿路径，例如：W→X→Y→Z（不回到起点W）。

区别
欧拉回路强调边的遍历，每个边恰好使用一次，且必须回到起点。
哈密尔顿图强调顶点的遍历，每个顶点恰好使用一次，可以是闭合的回路也可以是开放的路径。
值得注意的是，不是所有图都能成为欧拉图或哈密尔顿图。判断一个图是否是欧拉图或哈密尔顿图是一个NP完全问题，这意味着没有已知的多项式时间算法可以解决这个问题。