BZOJ1010玩具装箱[DP+单调性优化]

题目意思我就不多说了。

基本的DP很容易想到的。

设f[i]为前i个玩具放到箱子里面的最小代价。

int a = sum[i] - sum[j] + i - j - 1 - L;

那么f[i] = min(f[j] + a * a);

但是这样去转移的话需要n^2的复杂度。。这样的话就会TLE。

这里的话我们就可以应用到单调性优化或者斜率优化。

先了解一下单调性优化可以用在什么地方。

我们可以证明出对于任意的一个i，他的决策点是j，为了保持最优解，那么在i从1到n的过程中，每一个状态的决策点j都是不下降的。

怎么证明这里就不说了。

然后说一下具体的单调优化的方法

先讲一下几个数组的意思，sta[i]代表第i个状态(也就是f[i])转移的决策点的编号(编号就是第几大)

l[sta[i]]代表这个决策点编号决策的状态的区间左边节点

for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)首先枚举i

然后利用二分查找

int find(int x)
{
int left = 1 , right = r , mid = (left + right) / 2;
while(left <= right)
{
if(l[sta[mid]] == x) return mid;
if(l[sta[mid]] < x) left = mid + 1;
else right = mid - 1;
mid = (left + right) / 2;
}
return right;
}

我也不知道怎么描述这个呀。。。大概就是查找i在哪个决策点的区间里。

然后根据编号转移。

接着需要动态的更新sta中其他点的决策点

找到大概在哪个区间，然后对这个区间再二分找具体的某个点

然后更新就ok了

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define mod 9999973
#define N 50005
#define ll long long
using namespace std;
int n , L , c[N] , l[N] , sta[N] , left , right , r;
ll sum[N] , f[N];
ll turn(int j , int i)
{
	ll x = i - j + sum[i] - sum[j] - 1;
	return f[j] + (x - L) * (x - L);
}
int find(int x)
{
	int left = 1 , right = r , mid = (left + right) / 2;
	while(left <= right)
	{
		if(l[sta[mid]] == x) return mid;
		if(l[sta[mid]] < x) left = mid + 1;
		else right = mid - 1;
		mid = (left + right) / 2;
	}
	return right;
}
void work()
{ 
	scanf("%d%d", &n, &L);
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) scanf("%d", &c[i]) , sum[i] = sum[i - 1] + c[i];
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) l[i] = n + 1;
	memset(sta , 255 , sizeof(sta));
	l[0] = 1 , sta[1] = 0 , r = 1;
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
	{
		f[i] = turn(sta[find(i)] , i);
		while(r && l[sta[r]] > i && turn(i , l[sta[r]]) < turn(sta[r] , l[sta[r]])) --r;
		if(!r)
		{
			sta[++r] = i;
			l[i] = i;
			continue;
		}
		int left = l[sta[r]] , right = n , mid = (left + right) / 2;
		while(left <= right)
		{
			if(turn(i , mid) > turn(sta[r] , mid)) left = mid + 1;
			else right = mid - 1;
			mid = (left + right) / 2;
		}
		if(turn(i , left) > turn(sta[r] , left)) continue;
		sta[++r] = i , l[i] = left;
	}
	printf("%lld\n", f[n]);
}
int main()
{
	work();
	return 0;
}