扩展欧拉定理证明

我们知道，扩展欧拉定理的内容如下：

a^{b} \equiv {\begin{cases} a^{b} & b < φ (m) \\ a^{(b mod φ (m) + φ (m))} & b \geq φ (m) \end{cases} (\mod m)

但是又有多少人会它的证明呢？也许大佬们一看到就会证了，但是我刚刚才会，不得不说 oi-wiki 上的证明是真屎。

首先第一种情况显然，现在来证第二种情况。注意到第二种情况中如果 $(a, m) = 1$ 是好证的，但是 $(a, m) > 1$ 可就麻烦了。

但是我们可以考虑将 $a$ 质因数分解，然后问题等价于证 $a$ 的每个质因子满足条件即可。

那么显然每个质因子要么 $(p, m) = 1$ ，要么 $p | m$ 。考虑证明第二种情况。

我们令 $m = s p^{k}$ ，满足 $(p, s) = 1$ 。然后我们知道 $p^{φ (s)} \equiv 1 (\mod s)$ 。注意到同余式相当于 $p^{φ (s)} - k s = 1$ ，考虑两边同时乘以 $p^{k}$ ，也就是说 $p^{φ (s) + k} \equiv p^{k} (\mod m)$ ，这个形式并不优美，但是注意到 $φ (m) = φ (s) φ (p^{k})$ ，所以可以将式子变为 $p^{k} \equiv p^{φ (m) + k} (\mod m)$ ，于是我们找到了它的循环节，考虑运用它去证明定理。

然而由于 $b \geq φ (m)$ ，且我们可以证明 $k \leq φ (m)$ ，这是好证的，考虑 $φ (m) = φ (s) φ (p^{k}) = φ (s) (p^{k} - p^{k - 1}) \geq k$ 。大于等于是显然的。那么我们可以先得出

p^{b} \equiv p^{k + ((b - k) mod φ (m))} (\mod m)

此时数论大佬已经会了，但是本蒟蒻需要再思考一下，这个式子相当于先走 $k$ 步再进入循环节。然而我们可以让它先走 $φ (m)$ 步，那么我们发现它会在环上多走 $φ (m) - k$ 步。于是指数变为 $φ (m) + ((b - k - (φ (m) - k)) mod φ (m)) = φ (m) + (b mod φ (m))$ ，证毕。