扩展欧拉定理证明

我们知道，扩展欧拉定理的内容如下：

\[a^b\equiv\begin{cases}a^b &b<\varphi(m)\\ a^{(b\bmod \varphi(m)+\varphi(m))} &b\ge \varphi(m)\end{cases}\pmod m \]

但是又有多少人会它的证明呢？也许大佬们一看到就会证了，但是我刚刚才会，不得不说 oi-wiki 上的证明是真屎。

首先第一种情况显然，现在来证第二种情况。注意到第二种情况中如果 \((a,m)=1\) 是好证的，但是 \((a,m)>1\) 可就麻烦了。

但是我们可以考虑将 \(a\) 质因数分解，然后问题等价于证 \(a\) 的每个质因子满足条件即可。

那么显然每个质因子要么 \((p,m)=1\)，要么 \(p|m\)。考虑证明第二种情况。

我们令 \(m=sp^k\)，满足 \((p,s)=1\)。然后我们知道 \(p^{\varphi(s)}\equiv 1 \pmod{s}\)。注意到同余式相当于 \(p^{\varphi(s)}-ks=1\)，考虑两边同时乘以 \(p^k\)，也就是说 \(p^{\varphi(s)+k}\equiv p^k\pmod m\)，这个形式并不优美，但是注意到 \(\varphi(m)=\varphi(s)\varphi(p^k)\)，所以可以将式子变为 \(p^k\equiv p^{\varphi(m)+k}\pmod m\)，于是我们找到了它的循环节，考虑运用它去证明定理。

然而由于 \(b\ge \varphi(m)\)，且我们可以证明 \(k\le \varphi(m)\)，这是好证的，考虑 \(\varphi(m)=\varphi(s)\varphi(p^k)=\varphi(s)(p^k-p^{k-1})\ge k\)。大于等于是显然的。那么我们可以先得出

\[p^b\equiv p^{k+((b-k)\bmod \varphi(m))}\pmod m \]

此时数论大佬已经会了，但是本蒟蒻需要再思考一下，这个式子相当于先走 \(k\) 步再进入循环节。然而我们可以让它先走 \(\varphi(m)\) 步，那么我们发现它会在环上多走 \(\varphi(m)-k\) 步。于是指数变为 \(\varphi(m)+((b-k-(\varphi(m)-k))\bmod \varphi(m))=\varphi(m)+(b\bmod\varphi(m))\)，证毕。