CF1392H ZS Shuffles Cards

首先，游戏结束时的期望轮数可以表示为第 \(i\) 轮还未结束的概率乘第 \(i\) 轮的期望抽牌数，而注意到每一轮的期望抽牌数都是一定的，而后者是简单的，故先考虑处理前者。

发现前者似乎并不好算，而它的形式等价于期望轮数，现在考虑算期望轮数。

考虑分析这个过程，我们将会在抽牌的过程中不断抽到新牌，那么我们设计一个状态表示当前拿了 \(i\) 张不同的牌，拿到下一张新牌的期望轮数。发现这样子并不严谨，因为两张新牌可以在同一轮摸到。但是我们清楚在这个状态下，已经摸到的牌是无意义的。这样如果我们在一轮里先摸了一张新牌，之后它会变的无意义，换句话说就是刚摸的新牌不影响在同一轮摸到别的新牌。于是我们可以求已经摸到了 \(i\) 张牌，要抽到新牌所需的鬼牌数或新牌数，然后再减去 \(1\)。

这个东西怎么算？老牌我们不关心，抽到新牌的概率为 \(\frac {i}{m+i}\)，那么这个的期望即 \(\frac {m+i}{i}\)。减去 \(1\) 后的形式是优美的，就是 \(\frac m i\)。

那么现在只需要算每一轮的期望抽牌数了。考虑利用期望的性质，分析每张牌的贡献，即 \(\frac 1 {m+1}\)。然后乘以 \(n\)，再加 \(1\) 即可，加 \(1\) 是因为要加上最后的鬼牌。

最后的答案很简单，就是 \((mH_n+1)(\frac {n}{m+1}+1)\)。

期望题真是太厉害了！