P10851 [EGOI2024] Make Them Meet / 活动面基

构造题做的太少了，感觉这题是非常厉害的构造题。

考虑菊花图。菊花图结构非常简单，我的做法是先让所有点颜色相同，这样如果两个人分别在叶子上就可以在根相遇，否则一定会有一人走到根上，再与叶子挨个匹配即可。

考虑链的做法。我们可以考虑把两个人往中间赶，他们肯定可以相遇。但是这种想法非常不好构造方案，想想有没有别的方法？转换思路，我们很难把人往中间赶，但是我们可以将他们都往同一方向走，到边上就会反弹，这样也能让他们相遇。

具体的，对于每一轮，奇数轮 $(1,2)$ 同色，$(3,4)$ 同色......偶数轮 $(2,3)$ 同色，$(4,5)$ 同色以此类推即可。我们发现两人都会往同一方向走。完全图也可以用这种方法。

然后考虑树的做法。有了链的方法，树的构造方法也可以很自然的想到。我们按深度奇偶性染色，向刚刚一样。我们还需对于树根 $rt$ 找到一个儿子 $son$，在每一轮都与根颜色相同，这样可以让达到根的人在 $rt$ 和 $son$ 之间来回走。

现在考虑将树的构造套到一般图上。

理清思路，考虑一般图要有哪些性质才能使用树的构造方法？

1. 对于任意节点 $u$，$u$ 的任意两个儿子之间不能连边。
2. 对于根节点 $rt$，$rt$ 不能与选出的 $son$ 的任意儿子连边。

实际上是要寻找一个合法的生成树，显然按 dfs 序生成的树是可以完美的满足性质一的，如果跑出来的是一条链，则可以直接用链的构造方法。否则，我们要找到根，使得根满足性质二。

我们找到一个按 dfs 序生成的树的分叉点，使得该点子树内没有其它分叉点（即这个点下挂有若干条链）。直接找最深的就行。为什么要找到最深的？因为在接下来的步骤中会有不好处理的地方，之后会讲。

设这个点为 $q$，其父亲为 $p$，如果存在一个 $q$ 的儿子 $u$ 与 $p$ 不连边，那么我们很幸运地找到了一个可行的根。我们可以将 $u$ 设为根，并将其在原树下挂的链暂时删去，然后先从 $u$ 走到 $q$，再走完 $q$ 原来的儿子，最后再走到 $p$ 进行生成树的构造。生成完后将删去的链再挂回来即可。容易发现这样生成出来的树，树根是可以满足性质二的，选出的 $son$ 即为 $q$。

如果 $q$ 的所有儿子与 $p$ 之间都有边，没关系，我们随便找一个 $u$，作为新的根，dfs 构造树的时候先到 $q$ 中的儿子进行搜索，由于 $q$ 中的每个儿子与 $p$ 都有连边，那么在新的树中 $p$ 可以作为一个 $q$ 的儿子的儿子，这样生成出来的树也能满足性质二。

生成完后怎么做？这就体现出找最深的分叉点的优越性了。我们注意到生成出来的树的根节点只有两个儿子，并且子树分别为一棵正常的树和一条链。我们采取一般性的方法，奇数轮让深度为 $2,4,\cdots$ 的点与父亲同色，偶数论让深度为 $3,5,\cdots$ 的点与父亲同色，为什么不让深度为 $1$ 的点连向根？因为细心的你可以发现，我们无法保证根的两个儿子之间不存在边。那么我们考虑每次新增加一轮，在偶数轮之前，将链的顶与根这两个点同色。然后在原来的奇偶轮中，保证根 $u$ 与 $q$ 同色。

这样构造可以发现，若一个人在子树中，他上去会在 $u$ 与 $q$ 徘徊。而如果一个人在链中，他将会在 $q$ 时有两条路走，一条是走到子树中，然后上来并在 $u$ 与 $q$ 徘徊。另一条是回到链，并在 $q$ 到链底往返走。

来分析一下最劣情况，应该是两个人都在链中，其中一个先到根部然后进入子树，而另一个人则走回链底，他们刚好错开了。这样如果是最劣的话，设链的长度为 $l$，那么经过的路径长度大概为 $3l$，操作次数则为 $3l\times 1.5=4.5l$，则操作次数复杂度为 $\mathcal{O}(4.5n)$。

终于做完啦！

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++ i)
#define rrp(i, l, r) for (int i = r; i >= l; -- i)
#define pii pair <int, int>
#define eb emplace_back
#define id(x, y) n * ((x) - 1) + (y)
#define ls p << 1
#define rs ls | 1
#define MN 1000000000000000000
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
constexpr int N = 100 + 5, P = 1e9;
constexpr double PI = acos (-1.0);
inline int rd () {
  int x = 0, f = 1;
  char ch = getchar ();
  while (! isdigit (ch)) {
    if (ch == '-') f = -1;
    ch = getchar ();
  }
  while (isdigit (ch)) {
    x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
    ch = getchar ();
  }
  return x * f;
}
int n, m;
int col[N];
bool e[N][N], vis[N];
void init () {
  rep (i, 1, n) col[i] = i;
}
void put () {
  rep (i, 1, n) printf ("%d ", col[i]);
  puts ("");
}
int id[N], tot;
vector <int> t[N], G[N];
int dep[N], fa[N];
void dfs (int u) {
  vis[u] = 1; id[++ tot] = u;
  for (auto v : G[u]) {
    if (vis[v]) continue;
    dep[v] = dep[u] + 1; fa[v] = u; dfs (v);
  }
  rep (v, 1, n) {
    if (! e[u][v] || vis[v]) continue;
    dep[v] = dep[u] + 1; fa[v] = u; dfs (v);
  }
}
int main () {
  // freopen ("1.in", "r", stdin);
  // freopen ("1.out", "w", stdout);
  dep[0] = -1;
  n = rd (), m = rd ();
  int T = 420;
  rep (i, 1, m) {
    int u = rd () + 1, v = rd () + 1;
    e[u][v] = e[v][u] = 1;
  } dfs (1);
  rep (i, 1, n) t[fa[i]].eb (i);
  bool chk = 1;
  rep (i, 1, n) {
    if (t[i].size () > 1) chk = 0;
  }
  if (chk) {
    cout << T << endl;
    rrp (i, 1, T) {
      init ();
      rep (j, 2, n) {
        if ((dep[id[j]] & 1) == (i & 1)) col[id[j]] = col[fa[id[j]]];
      }
      put ();
    } return 0;
  }
  int q = 0, p = 0;
  rep (i, 1, n) {
    if (t[i].size () > 1) {
      if (dep[q] < dep[i]) q = i, p = fa[i];
    }
  }
  int u = t[q][0];
  for (auto v : t[q]) if (! e[v][p]) u = v;
  memset (vis, 0, sizeof vis);
  if (! t[u].empty ()) {
    int v = u;
    while (! t[v].empty ()) v = t[v][0], vis[v] = 1;
  }
  G[u].eb (q);
  G[q] = t[q];
  if (p) G[q].eb (p);
  tot = 0; fa[u] = 0;
  dep[u] = 0; dfs (u);
  if (! t[u].empty ()) {
    int v = u;
    while (! t[v].empty ()) dep[t[v][0]] = dep[v] + 1, v = t[v][0], id[++ tot] = v;
  }
  cout << T << endl;
  rrp (i, 1, T) {
    init ();
    if ((i % 3) <= 1) col[q] = col[u];
    rep (j, 3, n) {
      if (((fa[id[j]] == u) ? 2 : (dep[id[j]] & 1)) == (i % 3)) col[id[j]] = col[fa[id[j]]];
    }
    put ();
  }
  return 0;
}