[AGC061E] Increment or XOR

题目中涉及到了加法和异或，一个是进位加法，一个是不进位加法，显得很不可做。

但是我们注意到加法只加 $1$，如果产生进位了，那会将末尾的所有 $1$ 推平成 $0$，而如果没有进位，则后面的位不会受到加法影响。

这启发我们挖掘这道题的过程。我们发现这个过程形似可以从低位推到高位，并且过程中会有很多整个后缀全部为 $0$ 的状态。那么我们可以将过程分成若干个阶段阶段，并且发现，在 $[0,i-1]$ 位还未产生进位时，处理 $[i,40]$ 位的异或操作是简单的，只需要记录每个异或操作次数的奇偶性即可，因为他们不会收到加法影响，那么我们考虑 dp，设 $f_{i,0/1,0/1,s}$ 表示考虑 $[0,i-1]$ 位，初始状态是 $S$ 或全 $0$，末尾状态是 $T$ 或进位，异或操作的奇偶性为 $S$，从初始状态到末尾状态的最小代价。

我们发现这个状态设计是足够的，现在考虑转移。

首先，第 $i$ 位若可以直接匹配状态，直接转移就行，挨个讨论即可。

现在开始考虑需要多次进位的转移。首先，由于会出现进位，若我们要转移 $f_{i+1,x,y,S}$，首先我们显然要从 $f_{i,x,1,S_0}$ 开始，然后，我们接下来将会进行一系列的异或和加法操作，在此过程中我们需控制进位只能在第 $i$ 位进位，不能影响到最后的位置。最后，我们再以一个 $f_{i,1,y,S_{m+1}}$ 的操作完成转移，$m$ 表示中间的综合操作的次数，那么转移方程就呼之欲出了：

$$f_{i+1,x,y,\underset{j=0}{\overset{m+1}{⨁}}{S}_j}=f_{i,x,1,S_0}+f_{i,1,y,S_{m+1}}+\sum _{j=1}^m{f}_{i,1,1,S_j}$$

我们发现这个转移的形式其实是一个最短路形式，那么我们可以用 dijkstra 的方式去转移，最后答案为 $min(f_{40,0,0,S})$，时间复杂度 $\mathcal{O}(2^{2n}\log V)$。