对数函数

首先，我们应该了解自然对数 $e$ 的定义：

e^{x} = lim_{h \to 0} (1 + h x)^{\frac{1}{h}}

这是它的一个定义，他的引出貌似来自于一个有趣的问题，假如你有 $100$ 块钱，有种理财方式是每过一年使存的钱增加 $r = d %$ ，一种是把一年分成 $2$ 个半年，每半年增加 $\frac{d}{2} %$ ，这将比前者赚的更多。

事实上，你分的越多，赚的越多，那么如果我们分的数量趋于无限，我们期望到明年开始时能有多少钱呢？我们将式子写下来：

$w = 100 \times lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n}$

然后我们用 $h$ 替换 $n$ ，就有了上面的式子。那么接下来先看对数函数，对于 $a^{x} = b$ 这个方程，我们的解就是对数函数，即 $\log_{a} (b)$ 。那么接下来有几个显然的式子：

1. $\log (a b) = \log (a) + \log (b)$ 。

2. $\log (\frac{a}{b}) = \log (a) - \log (b)$ 。

3. $\log (a^{b}) = b \log (a)$ 。

4. $\log_{a} (c) = \frac{\log_{b} (c)}{\log_{b} (a)}$ 。

只有第四个式子需要动点脑筋。我们设 $a^{x} = c$ ，那么 $\log_{b} (a^{x}) = x \log_{b} (a)$ ，于是即可求得 $x$ 。记这个公式可以记等式右边的底数都是 $b$ ，上面是 $c$ ，下面是 $a$ 就好了。

然后，获得了这些知识，就可以对对数函数进行激动人心的求导了！

我们考虑求 $lim_{h \to 0} \frac{\log_{b} (x + h) - \log_{b} (x)}{h}$ 。

首先，注意到我们可以将减法转换，将分子变为 $\log_{b} (1 + \frac{h}{x})$ ，然后注意到分母除以了 $h$ ，于是我们可以将 $\frac{1}{h}$ 放到指数，那么就变成了 $\log_{b} ((1 + \frac{h}{x})^{\frac{1}{h}})$ ，好，现在 $e$ 就摆在了我们眼前，于是我们的结果为 $\log_{b} (e^{\frac{1}{x}})$ ，再化简可得 $\frac{1}{x} \log_{b} (e)$ 。这时我们将对数函数的底数换为 $e$ ，就得到了优美的导数：

\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}

对于一般底数的 $\log_{b} (e)$ ，我们进行一个换底，将其变为 $\frac{1}{\ln (b)}$ 。

然后，我们考虑对于对数函数的反函数，指数函数求导。我们不需要直接求，因为我们可以将 $y = b^{x}$ 变为 $x = \log_{b} (y)$ ，那么我们知道 $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y \ln (b)}$ ，然后我们反转分子分母，可得 $\frac{d y}{d x} = y \ln (b)$ 即 $b^{x} \ln (b)$ ，聪明的你会发现 $y = e^{x}$ 的导数就是他本身。

接下来是一些奇奇怪怪的导数和极限，比如说 $y = e^{k x}$ ，运用基础的链式求导法则可以得到 $k e^{k x}$ 。然后还有一个经典的极限， $lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h}$ ，这其实是一个伪装的导数，即 $lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - e^{0}}{h}$ ，这是 $e^{x}$ 在 $x = 0$ 时的导数，那么其结果为 $1$ 。