P9041 [PA2021] Fiolki 2

简要题意可以去看其他题解。

前置知识：LGV 引理。

看到这道题我们先考虑该怎么判定 $f(l,r)$ 是否等于 $x$。看完题面后很难不让人想到 LGV 引理（不相交路径，起点集 $S$ 和终点集 $T$）。但是 LGV 引理是用于计数的，放在这里似乎并不好用。但是我们可以 注意到，只要没有合法情况，那么矩阵行列式的结果一定为 $0$，而如果有合法情况，我们给每个边赋一个在 $[1,P-1]$ 内的权值，其中 $P$ 表示一个大质数，那么如果有合法情况，则行列式的值有极大概率不为 $0$。

那么现在判定 $f(l,r)=k$ 是简单的。但是怎么对于 $f(l,r)=x$ 判定呢？我们考虑矩阵的条件是什么。

行列式的基本性质告诉我们，如果一个矩阵存在两行（列）成比例则 $det(A)=0$。这告诉我们，如果这个矩阵存在线性相关，那么行列式结果一定是零。所以 $f(l,r)=x$ 当且仅当矩阵的矩阵的秩等于 $x$。

那么我们可以套路的想到扫描线，枚举每个 $r$，对于每个 $x$ 求最大的 $l$ 满足 $f(l,r)=x$，然后我们考虑使用线性基，贪心的对于每个基底选择出现时间最晚的基底，然后就可以解决本题了！

时间复杂度 $\mathcal{O}(n{k}^2+mk)$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++ i)
#define rrp(i, l, r) for (int i = r; i >= l; -- i)
#define id(x, y) ((x - 1) * n + y)
#define eb emplace_back
#define inf 1000000050
#define linf 10000000000000000
#define pii pair <int, int>
#define ls (p << 1)
#define rs (ls | 1)
using namespace std;
constexpr int N = 2e6 + 5, M = 50 + 5, P = 1042702009;
typedef long long ll;
inline ll rd () {
  ll x = 0, f = 1;
  char ch = getchar ();
  while (! isdigit (ch)) { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar (); }
  while (isdigit (ch)) { x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48; ch = getchar (); }
  return x * f;
}      
int qpow (int x, int y) {
  int ret = 1;
  for (; y; y >>= 1, x = x * x % P) if (y & 1) ret = ret * x % P;
  return ret;
}
int n, m, k;
int deg[N];
vector <pii> e[N];
class Poly {
  public:
    int c[M];
    friend Poly operator + (const Poly& a, const Poly& b) {
      Poly c;
      rep (i, 1, 50) c.c[i] = (a.c[i] + b.c[i]) % P;
      return c;
    }
    friend Poly operator - (const Poly& a, const Poly& b) {
      Poly c;
      rep (i, 1, 50) c.c[i] = (a.c[i] - b.c[i]) % P;
      return c;
    }
    friend Poly operator * (const Poly& a, const int& b) {
      Poly c;
      rep (i, 1, 50) c.c[i] = a.c[i] * b % P;
      return c;
    }
} f[N];
void topo () {
  queue <int> q;
  rep (i, 1, k) {
    f[i].c[i] = 1;
  }
  rep (i, 1, n) if (! deg[i]) q.push (i);
  while (! q.empty ()) {
    int u = q.front ();
    q.pop ();
    for (auto p : e[u]) {
      int v = p.first, w = p.second;
      f[v] = f[v] + f[u] * w;
      if (! -- deg[v]) q.push (v);
    }
  }
}
int tim[N];
Poly vt[N];
void insert (Poly x, int t) {
  rep (i, 1, k) {
    if (! x.c[i]) continue;
    if (! tim[i]) {
      tim[i] = t, vt[i] = x;
      return ;
    } else {
      if (tim[i] < t) swap (tim[i], t), swap (vt[i], x);
      int div = qpow (vt[i].c[i], P - 2) * x.c[i] % P;
      rep (j, 1, k) (x.c[j] -= vt[i].c[j] * div) %= P;
    }
  }
}
vector <int> vec;
int ans[M];
signed main () {
  mt19937 rnd (time (NULL));
  n = rd (), m = rd (), k = rd ();
  rep (i, 1, m) {
    int u = rd (), v = rd ();
    e[u].eb (pii (v, rnd () % (P - 1) + 1)); ++ deg[v];
  }
  topo ();
  rep (i, k + 1, n) {
    insert (f[i], i);
    rep (j, 1, k) if (tim[j]) vec.eb (tim[j]);
    vec.eb (k), vec.eb (i);
    sort (vec.begin (), vec.end (), greater <int> ());
    for (int j = 0; j + 1 < vec.size (); ++ j) ans[j] += vec[j] - vec[j + 1];
    vec.clear ();
  }
  rep (i, 0, k) printf ("%lld\n", ans[i]);
}