CF1924C

发现这个东西有一种隐隐约约的递推藏在里面，然后发现确实是递推。

具体的，我们注意到一个正方形先进行第一次折，我们发现实际上它分成了 $4$ 个小正方形，这四个小正方形是互相独立的，然后折完一次后它们都变成了一个三角形，我们试着分析每个三角形在后一次是怎么折的，发现折完以后还会是一个小三角形。

于是我们设 $f_{i}$ 表示已经折完 $n$ 次后展开 $i$ 次的每个小三角形（或第一次折之前的小正方形）的凹痕长度和， $g_{i}$ 则表示凸痕长度和，然后考虑转移。

首先，转移其实就是想象它折完之后再打开的过程，于是我们可以推出：

f_{i} = \frac{f_{i - 1} + g_{i - 1}}{\sqrt{2}} + 1

g_{i} = \frac{f_{i - 1} + g_{i - 1}}{\sqrt{2}}

发现 $f_{i} = g_{i} + 1$ ，那么最后要求的 $\frac{M}{V}$ 就是 $\frac{g_{n}}{g_{n} + 1} = 1 - \frac{1}{g_{n} + 1}$ ，由于我们只关心最后求出的 $b$ ，所以只计算 $- \frac{1}{g_{n} + 1}$ 就行了。

然后我们考虑把 $f_{i}$ 像虚数一样表示成 $x + y \sqrt{2}$ ， $g_{i}$ 同理，至于怎么求我想到了两种方法：

1.矩阵乘法，直接转移即可。

2.继续推式子，根据这个上面关于 $g_{i}$ 的两个式子还可以得到 $g_{i} = \sqrt{2} \times g_{i - 1} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，对于这种 $g_{i} = k \times g_{i - 1} + w$ 可以转换成另一种形式， $h_{i} = g_{i} + v, h_{i} = k \times h_{i - 1}$ ，解个方程发现有 $h_{i} = g_{i} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, h_{i} = \sqrt{2} \times h_{i - 1}$ ，其中 $h_{1} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，然后就有 $g_{n} + 1 = (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) {\sqrt{2}}^{n - 1} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，简化一下：

\frac{1}{g_{n} + 1} = \frac{1}{2^{\frac{n - 1}{2}} + 2^{\frac{n - 2}{2}} - 2^{- \frac{1}{2}}}

最后分类讨论 $n$ 的奇偶性求出 $x$ 和 $y$ ，然后分母有理化就可以求出 $b$ 了。

代码：

void solve ()
{
	int n = rd ();
	if (n & 1)
	{
		int x = qpow (2, (n + 1) >> 1);
		int y = 1 - qpow (2, (n - 1) >> 1);
	} else
	{
		int x = qpow (2, n >> 1);
		int y = 1 - x;
	}
	printf ("%lld\n", ((- 2 * y * qpow ((x * x - y * y * 2) % P, P - 2)) % P + P) % P);
}