组合数学学习笔记

这是一位数学小萌新看 oi-wiki 的一点点收获。

二项式定理#

二项式定理是组合数学中很基础且很重要的定理，它的式子为：

(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i} b^{n - i}

组合意义来思考它也是简单的。

拓展1：多元二项式定理#

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{m} = \sum_{\sum_{i = 1}^{n} d_{i} = m} (\binom{m}{d_{1}, \dots, d_{n}}) \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{d_{i}}

同样可以通过排列组合来证明，考虑每 $m$ 项选出来哪个进行乘法即可。

拓展2：二项式反演#

形式 0：

f (n) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) g (i) ⟺ g (n) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) f (i)

可以考虑集合与补集的容斥予以证明，当然也可以推式子：

\begin{aligned} g (n) & = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) \sum_{j = 0}^{i} (- 1)^{j} (\binom{i}{j}) g (j) \\ = \sum_{j = 0}^{n} g (j) \sum_{i = j}^{n} (- 1)^{i + j} (\binom{n}{i}) (\binom{i}{j}) \\ = \sum_{j = 0}^{n} g (j) \sum_{i = j}^{n} (- 1)^{i + j} (\binom{n}{j}) (\binom{n - j}{i - j}) \\ = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) g (j) \sum_{i = 0}^{n - j} (- 1)^{i + 2 j} (\binom{n - j}{i}) \\ = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) g (j) \sum_{i = 0}^{n - j} (- 1)^{i} (\binom{n - j}{i}) \\ = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) g (j) (- 1 + 1)^{n - j} \\ = g (n) \end{aligned}

形式 1：

f (n) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) g (i) ⟺ g (n) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} (\binom{n}{i}) f (i)

证明可以像刚刚一样推式子，还有一个巧妙证法，在形式零中，我们令 $h (n) = (- 1)^{n} g (n)$ ，则形式零就变为：

f (n) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) h (i) ⟺ \frac{h (n)}{(- 1)^{n}} = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) f (i)

右边同时乘分母后

f (n) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) h (i) ⟺ h (n) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} (\binom{n}{i}) f (i)

形式 2（常用）：

f (n) = \sum_{i = n}^{m} (\binom{i}{n}) g (i) ⟺ g (n) = \sum_{i = n}^{m} (- 1)^{i - n} (\binom{i}{n}) f (i)

自证不难。

范德蒙德卷积：#

\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{k - i}) = (\binom{n + m}{k})

证明就可以用二项式定理，可参考 oi-wiki。

推论 1：

\sum_{i = - r}^{s} (\binom{n}{r + i}) (\binom{m}{s - i}) = (\binom{n + m}{r + s})

证明：

$i$ 从 $0$ 开始就能转化到范德蒙德卷积的基本形式。

推论 2：

\sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{i - 1}) = (\binom{2 n}{n - 1})

证明：

\sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{i - 1}) = \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{i + 1}) = \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{n - i - 1}) = (\binom{2 n}{n - 1})

考虑组合的意义，将 $2 n$ 个球分成两组再选等价于直接从 $2 n$ 个球里面选，所以

\sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{n - i - 1}) = (\binom{2 n}{n - 1})

CF785D#

我们考虑枚举每一个中间点算贡献，对于任意一个中间位置 $i$ 有

$\sum_{k = 1}^{n} (\binom{p r e_{i}}{k}) (\binom{s u f_{i}}{k})$

$p r e, s u f$ 分别表示左括号的前缀和，右括号的后缀和。

但是发现会出现重复的子序列，那么我们如果遇到一个左括号就定它是最后一个左括号，遇到一个右括号就定它为第一个右括号，但是发现子序列的唯一性，只需要枚举最后一个左括号就行了，那么对于任意的位置 $i$ 对答案的贡献，有

$\sum_{k = 1}^{n} (\binom{p r e_{i - 1}}{k - 1}) (\binom{s u f_{i + 1}}{k})$

我们将式子变为

$\sum_{k = 1}^{n} (\binom{p r e_{i - 1}}{p r e_{i - 1} - k + 1}) (\binom{s u f_{i + 1}}{k})$

通过考虑其组合意义（卷积）可以发现这个式子的贡献就是 $(\binom{p r e_{i - 1} + s u f i + 1}{p r e_{i - 1} + 1})$ ，于是本题解决。

第二类斯特林数#

咕咕咕

作者：lalaouye

出处：https://www.cnblogs.com/lalaouyehome/p/17728791.html

版权：本作品采用「114514」许可协议进行许可。

posted @ 2023-09-25 20:28 lalaouye 阅读(55) 评论(0) 编辑收藏举报

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