斜率优化学习笔记

P3195 [HNOI2008]玩具装箱#

容易推出式子 $dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(i-j-1+s[i]-s[j]-L{)}^2)$
故设 $A[i]=i+s[i]-L-1$ (与 $j$ 无关的项)
$B[i]=i+s[i]$

故如果 $dp[j]+(i-j-1+s[i]-s[j]-L{)}^2)$ 就是答案，则 $dp[i]=dp[j]+(A[i]-B[j]{)}^2$
分解得 $dp[i]=dp[j]+A[i{]}^2+B[j{]}^2-2A[i]B[j]$

而斜率优化就是用来解决 $dp[i]=a[i]\times b[j]+c[i]+d[j]$ 的。

我们将式子变成 $b[j{]}^2+dp[j]=2A[i]B[j]-A[i{]}^2+dp[i]$

其中 $2A[i],-A[i{]}^2+dp[i]$ 为常数，故得出函数 $y=kx+b$

$y$ 表示 $b[j{]}^2+dp[j]$，$x$ 表示 $b[j]$

$k,b$ 可简单得知。

其中的 $x$ 都是孤立的点，$dp[i]=b-A[i{]}^2$，所以 $b$ （截距）越小，$dp[i]$ 越小。

通过数形结合可得出斜率第一个大于等于 $k$ 的点，可保证 $b$ 最小。
为何？因为这条斜率为 $2A[i]$ 的直线不能插进凸包。
于是便找到了最优解。
再维护个凸包就行。