面试中的概率题-数学期望（1）

问题描述：

有一个木桶，里面有M个白球，小明每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（无论白或红都涂红）再放回，问小明将桶中球全部涂红的期望时间是多少？

分析过程：

数学期望类的题目，主要是要理解什么是数学期望，数学期望是干什么用的，关于这些问题的解答，大家可以自己去理解，思考或者翻书，我要讲的内容是如何利用这些数学期望的特点。

数学期望的递归特性：

飞行棋大家都玩过吧，应该知道每次抛到6，就有一架飞机可以出门了，那么问你一架飞机可以出门的时候，抛筛子次数的数学期望是多少？

你估计会毫不犹豫的说是6（P=1/6，E=1/P=6），但是你思考过深一层次的原因吗？

好吧，我来告诉你，我们记抛6的期望次数是E，如果第一次抛的是6，那么就是1次，概率是1/6;如果第一次不是6呢，那么次数是1+E，概率为5/6;

那么 E = 1 * (1/6) + (1+E) * (5/6),你可以很容易的解出 E = 6

上面加粗的红色字体用的就是类似一个递归的概念，希望你能理解吧，不行的话，那只能自己去努力理解了，呵呵。

 

现在我们开始解答上面的问题：

令P[i]代表M个球中已经有i个球是红色后，还需要的时间期望，去将所有球都变成红色。

 

So，给出递归式：P[i]= (i/M) * P[i] + (1-i/M)* P[i+1] + 1

我相信大家都能理解这个公式的含义，不过还是解释一下，在P[i]的情况下，我们选一次球，如果是红球，那么概率是i/M，子问题还是P[i]，如果是白球，那么概率是1-i/M，子问题是P[i+1]，注意你当前的选球操作要计算在内，即一次

 

化简如上递归式得：P[i] = P[i+1] + M/(M-i)，显然P[M] = 0;

所以：

P[M-1] = P[M] + M/1

P[M-2] = P[M-1] + M/2

…

P[0] = P[1] + M/M

综上：P[0] = 0 + M/1 + M/2 + … + M/M，至此问题已经解决，不过我希望大家学到的不是这个答案，而是分析这个题目的过程

最终答案：

0 + M/1 + M/2 + M/3 + … + M/M