根号2是无理数的证明
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\(\sqrt{2}\)是无理数
证明：
利用反证法。假设\(\sqrt{2}\)是有理数，于是存在互质的两个整数\(m\)和\(n\)使得
\[\sqrt{2} = \frac{m}{n}
\]
因为\(m\)和\(n\)互质，所以\(m\)和\(n\)不可能均为偶数。现在用\(n\)乘以等式两边，得到
\[n\sqrt{2} = m
\]
两边平方，得到
\[2n^2 = m^2
\]
从而可知\(m^2\)是偶数，因为奇数的平方（\((2l+1)^2=4l^2 + 4l + 1\)）总是奇数，所以\(m\)为偶数。于是，存在某个整数\(k\)使得\(m=2k\)，将其代入上式可得
\[2n^2 = (2k)^2 = 4k^2
\]
也即
\[n^2 = 2k^2
\]
从而可知\(n\)为偶数。于是\(m\)和\(n\)均为偶数，这与前提矛盾。所以\(\sqrt{2}\)是无理数。
