数据结构与算法—排序（冒泡排序，选择排序，插入排序、希尔排序、快速排序、归并排序）

排序

排序算法（英语：Sorting algorithm）是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。

排序算法的稳定性

稳定性：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。
假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。

(4, 1)  (3, 1)  (3, 7)（5, 6）

在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有：

(3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6)  （维持次序, 稳定排序）  
(3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6)  （次序被改变，不稳定排序）

1. 冒泡排序

冒泡排序（英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

冒泡排序算法的运作如下：

比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

（1）分析

交换过程图示(第一次)：

那么我们需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：

（2）代码实现

def bubble_sort(alist):
    """冒泡排序法"""
    # 冒泡排序法需要进行n-1次冒泡过程  
    # 每一次需要比较的次数分别为：n-1,n-2,n-3,...,1
    for j in range(len(alist)-1,0,-1):
        for i in range(j):
            if alist[i] > alist[i+1]:
                alist[i],alist[i+1] = alist[i+1],alist[i]  

li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
bubble_sort(li)
print(li)

[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

改进

有时候序列本身就可能已部分或全部排好序，不需要全部遍历交换一遍。如果没有遍历完就提前完成排序，可以直接退出。
思路是，可以对每一次冒泡过程的交换次数做个计数，若某个过程的交换次数已为0，则该子序列已经完成排序，则更小的子序列也一样是排好序的。

def bubble_sort(alist):
    """冒泡排序法的改进"""
    # 冒泡排序法需要进行n-1次冒泡过程  
    # 每一次需要比较的次数分别为：n-1,n-2,n-3,...,1  
    for j in range(len(alist)-1,0,-1):
        # 对每一次冒泡过程的交换次数计数
        count = 0 
        for i in range(j):
            if alist[i] > alist[i+1]:
                alist[i],alist[i+1] = alist[i+1],alist[i]  
                count += 1
        # 若还未遍历完全部冒泡过程就完成了排序，则可以提前退出
        if count == 0:
            break
                

li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
bubble_sort(li)
print(li)

[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

（3）时间复杂度

最优时间复杂度：\(O(n)\) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。改进法可以做到）
最坏时间复杂度：\(O(n^2)\)
稳定性：稳定

2. 选择排序

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到未排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到剩下的未排序序列的起始位置。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

选择排序和冒泡排序的区别：
选择排序与冒泡排序都遍历未排序的元素进行比较，因此比较容易混淆。选择排序与冒泡排序的区别在于每一轮遍历比较未排序序列时，冒泡排序两两比较，最多可能交换n-1次位置，从而把最大值放到未排序序列尾部；而选择排序是两辆比较时不改变元素位置，只记录下未排序序列中最小值下标，最后最多只交换1次位置（最小值与未排序序列首交换位置）。

（1）分析

（2）代码

def select_sort(alist):
    """选择排序"""
    n = len(alist)
    # 注意边界值，可以画图理解
    for i in range(n-1):
        # min代表最小元素的下表，初始化取还未排序的第一个值
        min = i
        for j in range(i+1,n):
            # 将最小元素与未排序的元素比较，若存在小于min下标对应的值，则更新min下标
            if alist[min] > alist[j]:
                min = j
        # 将 未排序元素的第一个值 与 未排序元素中的最小值 交换位置
        if min != i:
            alist[i],alist[min] = alist[min],alist[i]
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
select_sort(li)
print(li)

[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

（3）复杂度

最优时间复杂度：O(n2)
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）

3. 插入排序

插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

(2) 分析

（2）代码

def insert_sort(alist):
    """插入排序"""
    n = len(alist)
    # 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入
    for i in range(1, n):
        # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
        for j in range(i,0,-1):
            if alist[j] < alist[j-1]:
                alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
                
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
insert_sort(li)
print(li)

[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

改进

当alist[j] < alist[j-1] 需要交换位置
但是当alist[j] > alist[j-1]时，由于j-1之前都是有序的，即alist[j] 会大于alist[j-1]前的所有数，所以可以提前退出。

def insert_sort(alist):
    """插入排序"""
    n = len(alist)
    # 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入
    for i in range(1, n):
        # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
        for j in range(i,0,-1):
            if alist[j] < alist[j-1]:
                alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
            else:
                break
                
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
insert_sort(li)
print(li)

[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

（3）时间复杂度

最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态）
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定性：稳定

4.希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。

希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身还是使用数组进行排序。

例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样(竖着的元素是步长组成)：

13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10

然后我们对每列进行排序：

10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45

将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：

排序之后变为：

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）

(1) 分析

（2）代码

def shell_sort(alist):
    n=len(alist)
    gap = n //2
    while gap >0:
        # 各个小组以gap为界，gap后的元素开始向前插入
        for i in range(gap, n):
            # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素（相距gap），交换位置
            for j in range(i, 0, -gap):
                if alist[j] < alist[j-gap]:
                    alist[j], alist[j-gap] = alist[j-gap], alist[j]
                else:
                    break
        # 缩短gap长度
        gap = gap //2

alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
shell_sort(alist)
print(alist)

[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

（3）时间复杂度

最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定想：不稳定

5.快速排序

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

1.分析

2.代码

def quick_sort(alist, start, end):
    """快速排序算法"""
    # 递归的终止条件
    if start >= end:
        return
    # 定义两个指针分别初始化指向要排序序列的首尾
    low = start
    high = end
    mid = alist[start]
    # 当low和high没有重叠的时候，需要不断比较
    while low < high:
        while low<high and alist[high]>=mid:
            high -= 1
        alist[low] = alist[high]
        while low<high and alist[low]<mid:
            low += 1
        alist[high]=alist[low]
    # 此时low和high指向同一个位置，即为mid所在位置
    alist[low] = mid
    # 递归调用
    quick_sort(alist,start,low-1)
    quick_sort(alist,low+1,end)
    
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
quick_sort(alist,0,len(alist)-1)
print(alist)

[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

3.时间复杂度

分析思路：

（1）首先，每次分成两部分分别进行排序，是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，因此每一层合起来的复杂度都为o(n)
（2）然后，一个长为n的序列，每次分为两部分，最终每部分都分为只有1个元素。要计算多少层？
最好情况为log(n),即每次恰好都是对半分，n/(2^x)=1 -> x=logn。最坏情况为n，即每次分为的两部分都为首个元素和其他。

因此，总的时间复杂度为：

最优时间复杂度：O(nlogn)
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定性：不稳定

6.归并排序

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

(1)代码

def merge_sort(alist):
    # 递归终止条件
    n = len(alist)
    if n<=1:
        return alist
    mid = n//2
    left = merge_sort(alist[:mid])
    right = merge_sort(alist[mid:])
    # 定义两个指针，分别初始化指向左右两个列表的首个元素
    l, r = 0, 0
    # 初始化返回结果
    result = []
    while l <len(left) and r<len(right):
        if left[l] <= right[r]:
            result.append(left[l])
            l += 1
        else:
            result.append(right[r])
            r += 1
    result += left[l:]
    result += right[r:]
    return result
            
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
sorted_alist = merge_sort(alist)
print(sorted_alist)

[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

（2）时间复杂度

分析思路：
跟快排类似
（1）首先，每一层都分组进行合并排序，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，因此每一层合起来的复杂度都为o(n)
（2）然后，每一层都是二分数组，n/(2^x) =1,x=logn，因此一共有logn层
因此，总的时间复杂度为：

最优时间复杂度：O(nlogn)
最坏时间复杂度：O(nlogn)
稳定性：稳定

注意：虽然归并排序的时间复杂度较低，但是算法会返回一个新的列表，需要额外的内存开销，因此所占用的内存会高一些。

7. 常见排序算法效率比较

posted @ 2020-11-01 22:48 亚北薯条阅读(271) 评论(0) 编辑收藏举报

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