2024 年 8月随笔档案 - Laijinyi

简单萌萌哒 Top Tree（上）

摘要：前情提要（？ Top Cluster 分解与 Top Tree 情景导入我们总是想要以一种合适的方式对树进行划分，但是对于菊花图而言，基于点的划分总是不合适的，这启发我们基于边进行划分。事实上可以证明，基于边的划分总是可行的。 Top Cluster 分解就是一种基于边的划分方式，下面我们来介绍他

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P6240 好吃的题目题解

摘要：题面稍微有一点不一样。 Statement 给

n

$n$ 个物品，每个物品有价值

v_{i}

$v_i$ 、体积

w_{i}

$w_i$ 。

q

$q$ 次询问，问考虑

[L . . R]

$[L..R]$ 区间的物品，用容量为

m

$m$ 的背包最多能装多少价值的物品，有多少种方案，每个物品只能被装一次。 \(n\le 2\cdo

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动态树笔记

摘要：不知道“树链剖分”、“全局平衡二叉树”等应不应该归类到“动态树”里面... 解决动态树问题的本质是将原树映射到一个高度为

O (\log n)

$O(\log n)$ 的树上。树链剖分主要是重链剖分，具体略. 支持：链修改链查询子树修改子树查询这里的修改、查询需要满足可以用数据结构维护. 一般两只 lo

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数学题 4

摘要：一堆东西不知放哪儿就放这儿了。 1 遇到一道题，转化后长这样： Statement 给出

n (\leq 10^{10})

$n(\le 10^{10})$ ，计算：

n + \sum_{i = 0}^{n - 1} i \cdot 2^{n - i - 1}

$n+\sum_{i=0}^{n-1}i\cdot 2^{n-i-1}$ 多组数据，答案对

10^{9} + 7

$10^9+7$ 取模。 Solution 当时看数据范围以为

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P8735 蓝跳跳题解

摘要：Statement 给出

k, p, L

$k,p,L$ ，数序列

a

$a$ ，满足如下条件：

1 \leq a_{i} \leq k

$1\le a_i\le k$

\sum_{i} a_{i} = L

$\sum_i a_i=L$

∄ i, a_{i} \geq p \land a_{i + 1} \geq p

$\nexists i,a_i\ge p\land a_{i+1}\ge p$ 答案对

20201114

$20201114$ 取模，\(p\le k\le

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P8734 奇偶覆盖题解

摘要：Statement 矩形面积并，但是覆盖奇数次、覆盖偶数次的面积要分别输出。 Solution 提供一种不费脑子的做法：首先离散化、扫描线，问题变成维护区间 +1-1、询问全局有多少正数是奇数、多少正数是偶数。若去除“正数”的条件，这是很容易用一个标记下传的线段树维护的，区间分别维护 0,1 个

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泰勒公式笔记

摘要：用来构造一个多项式来近似一个函数

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n}

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 大概就是用

n

$n$ 阶导数来拟合一下。严谨推导：假设

f (x)

$f(x)$ 在点

x_{0}

$x_0$ 的某邻域

U (x_{0})

$U(x_0)$ 能近似

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P8776 最长不下降子序列题解

摘要：Statement 最长不下降子序列（LIS），但是有一次机会，让序列中连续

k

$k$ 个数改成同一个数。

n \leq 10^{5}, a_{i} \leq 10^{6}

$n\le 10^5,a_i\le 10^6$ . Solution 记

f (i)

$f(i)$ 为以

i

$i$ 结尾的 LIS 长度，

g (i)

$g(i)$ 为以

i

$i$ 开始的 LIS 长度，

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cdl 的题

摘要：Statement CloudDreamLaker 嫌上一题太简单，又出了一道数据结构题：添加一个操作：把

[l, r]

$[l,r]$ 区间中的数加上

x

$x$ 。添加一个操作：把

[l, r]

$[l,r]$ 区间中的数乘以

x

$x$ 。询问如果我执行了

[l, r]

$[l,r]$ 区间的操作，

p o s

$pos$ 这一个

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CIMOTA 的题

摘要：Statement I_AM_CIMOTA 出了一道数据结构题：添加一个操作：把

[l, r]

$[l,r]$ 区间中的数加上

x

$x$ 。询问如果我执行了

[l, r]

$[l,r]$ 区间的操作，

p o s

$pos$ 这一个点的值会变为多少。 Solution 在线做法：可持久化线段树，标记永久化的话比较方便。离线

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2024.08.07 卜卦题解

该文被密码保护。

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CF650D Zip-line 题解

摘要：题目链接。 Statement 支持单点改的 LIS（最长严格上升子序列），修改之间互不影响，

n, m \leq 4 \cdot 10^{5}

$n,m\le 4\cdot 10^5$ . Solution 经典结论：记强制选第

i

$i$ 个数前

i

$i$ 个数的 LIS 为

f (i)

$f(i)$ ，强制选第

i

$i$ 个数后

i

$i$ 个数

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P3589 KUR 题解

摘要：题目链接 Solution 因为

n

$n$ 在 1e9 量级，所以答案是不可能一个个数的，考虑把答案的计数转化为若干条限制的求解. 我们考虑小串

a

$a$ 在

c

$c$ 中的出现的起始位置

x

$x$ ，他一定满足

m

$m$ 条限制，把他们列出来：对于

c_{x + i}

$c_{x+i}$ ，\(a(x+i

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P9596 冒泡排序 2 题解

摘要：题目链接。 Statement 记

f (A)

$f(A)$ 为序列

A

$A$ 的冒泡排序趟数，操作：单点改，全局查

f (A)

$f(A)$ .

n, m \leq 5 \cdot 10^{5}

$n,m\le 5\cdot 10^5$ ，值域 1e9. Solution 结论： \[ Ans=\max_{i\in [1..n]}\left\{ \sum_{j

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gym105167E Erdős-Ginzburg-Ziv 题解

摘要：题意：给

p

$p$ 和

p - 1

$p-1$ 个边权，要用这些边权构造树，每个点编号

0 \sim p - 1

$0\sim p-1$ ，使得每个点

u

$u$ 到

0

$0$ 的距离

mod p = u

$\bmod\ p=u$ ，无解输出 -1，保证

p

$p$ 是质数、

p \leq 10^{6}

$p\le 10^6$ 、边权

\in [1.. p - 1]

$\in [1..p-1]$ .

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