期望解题法

这篇博客教你如何使用公式，套路地解决一类期望题

受 tommymio 启发，总结了一下

前置知识：$\mathrm E[X+Y]=\mathrm E[X]+\mathrm E[Y]$，其中 $X,Y$ 可以有依赖关系。

证明 OI Wiki 上有。

例题 CF280C Game on Tree

Statement. 给一棵有根树 $(n\le10^5)$，根为 $1$，每次等概率选一个未删去的点，然后删除他的子树，问删除所有节点的期望次数。

约定

• $\mathrm P(X)$ 为事件 $X$ 发生的概率
• $\mathrm E(X)$ 为 $X$ 的期望值
• $\mathrm I(X)=\begin{cases}1&X\ \text{发生}\\0&X\ \text{没发生}\end{cases}$

给 $\mathrm I(X)$ 取个高大上的名字：称 $\mathrm I(X)$ 为事件 $X$ 的指示器随机变量。（其实就是艾弗森括号）

显然，$\mathrm E(\mathrm I(X))=\mathrm P(X)$。

分析

设 $X_i=\mathrm I(T_i)$，其中事件 $T_i$ 为点 $i$ 被选中

那么总共选出的点数 $X=\sum_{i=1}^n X_i$

两边取期望得 $$\mathrm E[X]=\mathrm E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right]$$

由期望的线性性， $$\mathrm E[X]=\sum_{i=1}^n\mathrm E[X_i]$$

这一步相当于破除了变量间的依赖关系

接下来，如果算出了单个 $i$ 的 $\mathrm E[X_i]$ 是什么，问题也就迎刃而解：

$\mathrm E[X_i]=\mathrm P(T_i)$，即 $i$ 被选中的概率

$i$ 要被选中，那 $i$ 应该是 $i$ 及它所有祖先中，第一个被选中的

考虑 $i$ 及它的祖先，这些点的选中机会是平等的，所以 $\mathrm P(T_i)=\frac{1}{\text{dep}(i)}$，定义 $\text{dep}(1)=1$

于是问题解决， $$Ans=\sum_{i=1}^n\frac1{\text{dep}(i)}$$

总结规律

分三步：

• 设事件 $T$ 的指示器随机变量。
• 利用指示器随机变量和期望的线性性质分化问题。
• 求解事件 $T$ 发生的概率。

这个方法是核心，掌握这个方法就能举一反三，简单地解决许多的期望题！

再看几道例题。

例 1. UVA12004 Bubble Sort

Statement. 求 $n(\le 10^5)$ 个数的排列的期望逆序对数

分析

定义该排列为 $p$，$X_{i,j}=\mathrm I(T_{i,j})$，其中事件 $T_{i,j}$ 为 $i<j\land p_i>p_j$

那么该排列的逆序对数 $X=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nX_{i,j}$

两边同取期望，得

$$\mathrm E[X]=\mathrm E\left[\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nX_{i,j}\right]$$

由期望的线性性，

$$\text E[X]=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\text{E}[X_{i,j}]$$

问题变成求一个独立的 $\text E[X_{i,j}]=\text{P}(T_{i,j})$

而

$$\text{P}(T_{i,j})=\frac{\sum_{i=1}^n(i-1)}{n(n-1)}=\frac{\frac{n(n-1)}2}{n(n-1)}=\frac12$$

故

$$\text E[X]=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\frac12=\frac{n(n-1)}{4}$$

解决！

例 2. 点菜问题

题意

$n$ 个人，点 $m$ 样菜，点菜时他们之间没有交流，每个人点每样菜是随机的，每个人只能点一样菜。

求被点过的菜的期望数，结果对 $998244353$ 取模，$n,m<998244353$。

分析

定义 $X_{i}$ 为第 $i$ 样菜是否被选。换句话说就是 $\text I(T_i)$，其中事件 $T_i$ 为第 $i$ 样菜被选中。

那么答案 $X=\sum_{i=1}^mX_{i}$

同取期望，

$$\text E[X]=\text E\left[\sum_{i=1}^mX_{i}\right]=\sum_{i=1}^m\text E\left[X_i\right]$$

考虑单个 $\text E[X_i]$ 咋算，也就是单独第 $i$ 样菜被选的概率。

他等于总数减去第 $i$ 样菜选 $n$ 次还选不到的概率，即 $1-\left(\frac{m-1}{m}\right)^n$

故

$$\text E[X]=m\cdot\left(1-\left(\frac{m-1}{m}\right)^n\right)$$

题外话

你可以在 U204177 提交此题。

例 3. P3802 小魔女帕琪

Statement. 给出一个序列，其中包含 $a_i(0\le a_i\le 10^9)$ 个 $i(1\le i\le 7)$，问将其随机排列后，期望出现多少次连续 $7$ 个互不相同的数。

分析

定义 $X_i$ 为区间 $[i..i+6]$ 这 $7$ 个数是否互不相同，$N=\sum_{i=1}^7a_i$。

那么答案 $X=\sum_{i=1}^{N-6}X_i$

同取期望，

$$\text E[X]=\text E\left[\sum_{i=1}^{N-6}X_i\right]=\sum_{i=1}^{N-6}\text E\left[X_i\right]$$

问题变成如何求解单个 $\text E[X_i]$，即随机取 $7$ 个数，互不相同的概率。

他等于

$$\frac{\prod_{i=1}^7a_i}{\binom{N}{7}}$$

故

$$\text E[X]=(N-6)\frac{\prod_{i=1}^7a_i}{\binom{N}{7}}$$

写好看点，就是

$$\frac{7!\cdot a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7}{N\cdot(N-1)\cdot(N-2)\cdot(N-3)\cdot(N-4)\cdot(N-5)}$$

解决。

例 4. P1297 单选错位

Statement. 略

分析

默认约定 $a_{n+1}=a_1$

令 $X_i$ 为 $a_i,a_{i+1}$ 的答案是否相同

$$X=\sum_{i=1}^nX_i$$

同取期望得

$$\text E[X]=\text E\left[\sum_{i=1}^nX_i\right]=\sum_{i=1}^n\text E[X_i]$$

问题变成单个 $\text E[X_i]$ 咋求。

通过简单小学奥数的计算后

$$\text E[X_i]=\dfrac{1}{\max(a_i,a_{i+1})}$$

做完了！

例 5. 石子问题

题意

给定 $n$ 堆石子，每堆石子有 $a_i$ 颗石子，每次等概率选择一颗石子，然后一次性取完它这堆的所有石子。请你求出第 $1$ 堆石子期望第几次被取走。

$n\le 10^5, a_i\ge 1$

分析

该题的表示法不太一样：

设 $t_i$ 为第 $i$ 堆石子被取走的时间，他一定是一个排列，$X_i$ 为 $[t_i<t_1]$。

那么答案

$$X=\sum_{i=2}^nX_i$$

同取期望

$$\text E[X]=\text E\left[\sum_{i=2}^nX_i\right]=\sum_{i=2}^n\text E[X_i]$$

而

$$\text E[X_i]=\frac{a_i}{a_1+a_i}$$

于是这题就做完了。

例题就讲这么多。

总结

该方法能解决一大类期望问题，不过他还是有局限性的，就是如果答案不能方便的表示出来，他可能就做不了。