简单萌萌哒 Top Tree（上）

前情提要。

Top Cluster 分解与 Top Tree

情景导入

我们总是想要以一种合适的方式对树进行划分，但是对于菊花图而言，基于点的划分总是不合适的，这启发我们基于边进行划分。事实上可以证明，基于边的划分总是可行的。

Top Cluster 分解就是一种基于边的划分方式，下面我们来介绍他。

簇

定义：

  • 一个簇可以表示为一个三元组 \((u,v,E)\)，其中 \(u,v\) 为树的节点，称为簇的界点（或端点），\(E\) 为一个边集，表示该簇包含的边，路径 \((u,v)\) 称为簇路径。
  • 对于树的一条边 \((u,v)\)，\((u,v,\{(u,v)\})\) 是一个簇。
  • 对于簇 \(a=(u,v,E_a)\)，簇 \(b=(u,w,E_b),E_a\cap E_b=\varnothing\)，记 \(\text{rake}(a,b)=(u,v,E_a\cup E_b)\)，也可以写成 \(\text{rake}(w)\)。
  • 对于簇 \(a=(u,v,E_a)\)，簇 \(b=(v,w,E_b),E_a\cap E_b=\varnothing\)，记 \(\text{compress}(a,b)=(u,w,E_a\cup E_b)\)，也可以写成 \(\text{compress}(v)\)。

其中 rake 和 compress 是树收缩的两种基本操作。形象的理解，一个簇可以看成一条边，rake 就是把一条边“拍”到另一条边上，compress 就是把两条边“拼”成一条；rake 是去掉一度点，compress 是去掉二度点。如下图：

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显然，一棵树可以不断地进行这两种操作来合并为一个簇。一种方法是，不断地 rake 来剥掉叶子。

进行若干次收缩后，用簇路径来代替原来的边，可以得到一个树形结构（下图左侧），称为收缩树；还可以得到一棵二叉树（下图右侧），每个点代表一个簇，其两个儿子表示 compress 或 rake 操作的两个簇。我们把这棵二叉树称为 Top Tree。每个叶子节点是一条边，称为基簇；其根节点表示整棵树的簇，称为根簇。

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（右图：圆点：rake 而来的；方点：不变 / compress 而来的；点上的两个小写字母表示这个簇的界点）

静态 Top Tree 的构建

为了方便问题的解决，我们希望 Top Tree 的深度是 \(O(\log n)\) 的。下面介绍一种构建方法：

首先注意到，簇的合并方式 与 轻重链剖分 有某种共性：compress 相当于重链上的 push_up，rake 相当于轻子树信息的合并。所以我们对原树进行轻重链剖分，dfs 地自底向上处理每条重链，并认为每个轻子树已经合并为一个簇。

对于重链上的每个点 \(u\)，把 \(\text{fa}(u)\) 的轻子树的簇 rake 到边 \((u,\text{fa}(u))\)，这里需要分治地 rake 保证深度不会太大，称这样操作形成的树为 rake 树。

然后我们得到了排成一条链的簇，同样分治地 compress 这些簇来保证深度，称这样操作形成的树为 compress 树。（称 rake 树上的点为 rake node，compress 树上的点为 compress node。）

显然，这样合并得到的 Top Tree 的深度为 \(O(\log^2 n)\)。如何优化？

根据前情提要，显然借用“全局平衡二叉树”的思想，在分治 compress 或 rake 时按簇的大小选择带权中点作为分治中点，这样 Top Tree 的深度就为 \(O(\log n)\) 了。

按这样构建出的 Top Tree 拥有一些很好的性质：

  • 所有簇的界点都有祖先关系。
  • 簇的上界点为整个簇中深度最小的点。
  • Compress 树的中序遍历是按照深度降序遍历，从下到上。

Top Tree 是关于边的划分，而我们时常需要维护点的信息，为此我们定义：一个簇包含其连通块中的所有除上界点以外的点，这样每个点在每一层中最多属于一个簇。根节点的话可以加入一条额外边或特殊考虑来解决。

簇与 Top Tree 的性质

我们约定，如果没有特殊说明，“簇”都指的是 Top Tree 上的簇。下面列出一些比较显然但是重要的性质：

  • 根据定义，簇中只有不超过 2 个点与外部点邻接，这两个点一定是界点。（重要）
  • 任意两个簇，要么相互包含，要么两者的交最多只有一个点，且这个点是两个簇的共有的界点。
  • 一个不是基簇的簇，其两个子簇恰好有一个共有的界点，我们称其为该簇的中心点。
  • 从外部经过一个簇的路径必定经过该簇的界点。特别地，如果这个路径完全跨过了该簇，那么该簇的簇路径是其的一个子路径。

第一条的证明可以理解为，无论是 rake 还是 compress，都不影响“簇中只有不超过 2 个点与外部点邻接”这个性质。（结合第一张图理解）

Top Tree 是一棵二叉树，每个点是一个簇，父亲由儿子合并而来，叶子是一条条边的簇。

Top Tree 的结构在某种意义上类似于线段树：

  • 线段树的每个节点是一个区间，最多只有两端与外部邻接，而 Top Tree 的每个节点是一个簇，最多只有两端与外部邻接；（这也是他的信息可快速合并的原因之一）
  • 他们都维护子树信息并，是一种二叉分治结构，支持分治、二分，（某种意义上）是 Leafy 的；
  • 树高都是 \(O(\log n)\)；
  • ……

所以我们可以将静态 Top Tree 直观理解为树上的线段树。

动态 Top Tree 的维护

就是支持一些动态操作的 Top Tree：

  • \(\text{expose}(u,v)\)：将根簇变为簇路径为 \((u,v)\) 的一个簇。
  • \(\text{link}(u,v)\)：在 \(u,v\) 间连边。
  • \(\text{cut}(u,v)\)：断开 \(u,v\) 之间的边。

接下来我们将介绍 SATT（Self-Adjusting Top Tree）（的维护方式）。

Top Tree 与原树的关系

首先，我们已经发现 compress 操作与重链上 push_up 类似，rake 操作与轻子树信息合并类似。考虑到轻重链剖分与实链剖分的关系，为了能让 Top Tree 动起来，我们先把重链替换为实链、轻边替换为虚边。

假如有一棵树，我们令一个点为根、所有儿子指向父亲，再进行实链剖分，每条实链末端为一个叶子，即所有非叶节点都恰好有一个实儿子。

这时我们再对这棵树进行 Top Tree 的构建：对于一条实链上的每个点，我们先将其所有虚子树（分治地）rake 为一个簇，再对整个链上的边分治地 compress，分治过程中若一个中心点的虚子树还未被 rake 就先 rake 到路径上。

注意除了根所在的实链，其他实链需要 compress 的边还包含其链顶向上连的虚边！

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下面举个例子：

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解读一下：图中 rake tree 简写为了一个大写字母。最右图中，更直观地把 rake 过程画成了两个节点挨在一起的样子。注意到任意三个同层相邻节点 \(u,A,v\) 无论是 \(uA\) 挨在一起还是 \(Av\) 挨在一起都不影响最终的结果，这样最右图可以理解为一棵三叉树。

在实际代码中，我们也常常用三叉树的结构去储存我们的 Top Tree，其中在 compress tree 中一个点的中儿子一定是一棵 rake tree 的根，中儿子也决定了这个簇的中心点。

为了统一，我们令 rake tree 也是三叉的，只不过 rake node 一定没有中儿子而已。

下面对于刚刚所说进行一些更为广泛接受的定义 + 说明：

  • 指定一个度为一的点为根，并将所有边定向到它，这样的树称为 unit tree。
  • 将树分解为若干不交叉的、边不相交的路径（端点可以重合在另一条路径上）。根所在的路径称为 root path，或 exposed path。除了 root path 的其他路径需要满足开始于一个叶子、结束在另一个路径上。

我们的实链加上链顶的虚边，就相当于第二条中的“路径”。

  • 递归地表示整棵树的簇，我们把 root path 上每个点两侧的这些簇分别 rake 为 1 个，再将它尽可能晚地 rake 到路径上，即在这个点被 compress 前。
  • 我们用一个 augmented top tree 表示这个过程。表示某点某一侧 rake 的结点在 augmented top tree 中形成了一个树，称为 rake tree。每个表示 compress 的结点最多可能有 4 个孩子，其中 2 个表示两侧 rake 到路径上的簇，2 个表示这次被 compress 的簇，所以实际最多可能表示 2 次 rake 和 1 次 compress。同样这些结点也形成了一个树，称为 compress tree。如下图：

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注意到他把簇 rake 成了两个，而我们 rake 成了一个。区别在于，他这样可以维护边的顺序，例如每个点的儿子有顺序，他就可以维护这个顺序。

那么他在分治地 compress 时若一个中心点的虚子树还未被 rake，就把他 rake 到路径上。

举个例子：上图左边 \(uv,A,B,vw\) 的合并，你可以选择 \(A\) 向 \(uv\) 合并、\(B\) 向 \(vw\) 合并，也可以选择 \(A\) 向 \(vw\) 合并、\(B\) 向 \(uv\) 合并。

这样，compress tree 可以类似地直观表示为一棵四叉树，两个儿子是 compress node、两个儿子是 rake node。

但是几乎没什么题要求你维护这个顺序，所以了解即可。

再附上一张图：

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  • 对于原树上的一个点 \(u\)，若 \(u\) 的度数 \(\ge 2\)，记 \(N_u\) 表示在 \(u\) 处 compress 的簇；若 \(u\) 的度数 \(=1\)，\(N_u\) 表示在 Top Tree 中最靠上的、一个界点为 \(u\) 的簇。
  • 仅考虑 compress tree 的话最后的结构类似 ST-tree（LCT），rake tree 可以认为是用于维护虚子树信息。

Top Tree 的动态操作

Rotate

注意到重链剖分、LCT 之间的关系，与静态 Top Tree、SATT 之间的关系比较类似：

  • LCT 本质上是把重链剖分的线段树变为可旋转、可加入删除一个 Splay 的 Splay（虚实转化），实现了动态化。
  • 那么 Top Tree 是否可以支持旋转、插入删除一个簇呢？

事实上，我们发现无论是 rake tree 还是 compress tree 都可以支持旋转。

以我们的三叉 compress tree 为例，由于只要不影响其中序遍历，怎么旋都可以，所以可以这样旋：

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而 rake tree 是不关心 rake 的顺序的，并且 rake node 没有中儿子，所以像上图那样旋也是没问题的。

再说四叉 compress tree 的旋转，可以这样旋（图中右旋：\(\text{rotate}(N_v)\)，左旋：\(\text{rotate}(N_w)\)）：

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（可以对着下面这幅图理解：）

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而 rake tree 中每个点只有灰色儿子，同理也可以这样旋。

注意到每个点的 rake 儿子都不变，也就是他们的中心点是不变的。

实际有可能出现 \(u\) 是父亲的 rake 儿子等的情况，这些记得判掉。

Splay

有了 Rotate 就自然有了 Splay 了，这个东西与 LCT 的基本相同。

在 compress tree 中 \(\text{splay}(u)\) 可以把 \(u\) 的中心点变成整棵 compress tree 的根簇的中心点。

Splice

在讨论 Access 操作之前，我们先介绍一个操作 \(\text{splice}(u)\)，表示将簇 \(u\) 插入到他父亲的簇上。这个就相当于刚刚说的“插入删除一个簇”的操作。

我们考虑三叉树时的情况，如下图：

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其中 \(x,y,z,v\) 都是簇的界点，\(vy\) 表示以 \(v,y\) 为界点的一个簇。

设 \(u\) 为 \(A,B\) 在 rake tree 上的根的父亲。

首先 \(\text{splay}(u)\) 可以使点 \(v\) 成为这个父亲的簇的中心点。

然后观察发生了什么：

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图中把 rake tree 展开了一下。

发现只要 swap(xv, yv) 再更新一下信息即可！

而对于四叉树，他还需要维护儿子顺序，如下图：

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原来只有簇 \(A\) 在上方、簇 \(B,vy,C\) 在下方，现在变成了簇 \(A,xv,B\) 在上方、\(C\) 在下方。

发生了什么：

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仔细看的话这个图应该比较好懂，按图中这样修改就行了。

接下来只讲三叉树怎么操作的了，四叉树可以参考原论文第 5 ~ 6 页 \(\mathbf{Exposing\ the\ target.}\) 开始的一堆（实在啃不动了）

我们先对动态的 Top Tree 放宽一点要求，不要求每条实链末端为叶子了，不然讨论起来比较麻烦。

Access

\(\text{access}(x)\) 表示让点 \(x\) 与原树的根节点组成根簇的界点。

先讲过程：

记 \(x'=N_x\)。\(N_u\) 的定义在上文“Top Tree 与原树的关系”倒数第二条处。

  • 若 \(x\) 不是他所在的 compress tree 的根节点的一个界点，则先 \(\text{splay}(x')\)，再新建点 \(y\)，令 \(x'\) 的左儿子、中儿子分别成为 \(y\) 的左儿子、右儿子，并删除 \(x'\) 的左儿子、中儿子，然后令 \(y\) 为 \(x'\) 的中儿子。
  • 重复以下操作，直到 \(x'\) 到达根部（compress tree 的根节点为整棵 SATT 的根节点）：
    • 记此时 \(x'\) 的父亲为 \(u\)，执行 \(\text{splice}(x')\).
    • 若 \(u\) 是 rake node 且 \(u\) 的儿子数量小于 2，删除 \(u\)、将 \(u\) 的儿子继承到 \(u\) 的父亲。
    • \(\text{splay}(x')\) 到当前 compress tree 的根的儿子。
    • \(x'\gets\text{fa}(x')\)。
  • 将 \(x'\) 旋转至整棵树的根。

第一步将 \(x\) 成为其所在 compress tree 对应簇的界点，称为 Local Splay。如下图：

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然后如图：

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这样一直重复。最后一步称为 Global Splay。

Makeroot

显然，先 \(\text{access}(x)\) 再给 \(x\) 子树打上翻转标记即可。标记下传讨论下 compress node 与 rake node 即可。

Expose

\(\text{expose}(u,v)\) 将根簇变为簇路径为 \((u,v)\) 的一个簇。

显然，先 \(\text{makeroot}(u)\) 再 \(\text{access}(v)\) 即可。

\(\text{link}(x,y,z)\) 表示连边 \(x,y\)，这条边在 SATT 上编号为 \(z\)。

先 \(\text{access}(x)\)，再 \(\text{makeroot}(y)\)，再让 \(x\) 的左儿子为 \(z\)、\(z\) 的中儿子为 \(y\) 即可。

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Cut

先 \(\text{expose}(x,y)\)，再删除 \(x\) 的右儿子，最后断开 \(x,y\) 即可。

图示：

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于是 SATT 的基本操作就讲完了。

时间复杂度证明：不会。

SATT 维护其他信息主要都是修改 \(\text{push_up}\) 与 \(\text{push_down}\) 函数，或者通过 DFS（或者说：非局部搜索）来求，这些维护方式放到静态 Top Tree 上是完全一样的，故放到静态 Top Tree 中来讲。

简单萌萌哒 Top Tree（下）。

整篇文章还不保熟，代码还没写，有错误请包涵并指出。

我也是翻阅、参考、引用抄写一大堆资料才能呈现出这篇文章，以下是一些可能有用的链接：

posted @ 2024-08-27 10:27  Laijinyi  阅读(15)  评论(0)  编辑  收藏  举报