动态树笔记
不知道“树链剖分”、“全局平衡二叉树”等应不应该归类到“动态树”里面...
解决动态树问题的本质是将原树映射到一个高度为 \(O(\log n)\) 的树上。
树链剖分
主要是重链剖分，具体略. 支持：
- 链修改
- 链查询
- 子树修改
- 子树查询
这里的修改、查询需要满足可以用数据结构维护.
一般两只 log.
LCT
全称 Link-Cut-Tree，拥有以下函数：
- \(\text{get}\), \(\text{nrt}\), \(\text{up}\), \(\text{upd}\), \(\text{down}\), \(\text{rot}\)
- \(\text{splay}\)
- \(\text{access}\)
- \(\text{makert}\)
- \(\text{link}\), \(\text{cut}\), \(\text{split}\), \(\text{find}\)
具体略.
支持：
- 链修改
- 链查询
- 连边、断边
- 判断连通
- 子树查询可减信息
一只 log
全局平衡二叉树
重链剖分，每条链像 LCT 一样维护成一棵二叉树，如此建树：
记每个点的权值为轻子树大小之和 + 1，求出链的加权中点作为根，然后递归建树.（加权中点：左边之和与右边之和的差最小）
跳轻边，最多 \(\log n\) 次；跳树边，轻儿子 size 翻倍，故总树高 \(O(\log n)\).
链修改、链查询可拆为二叉树上子树修改、子树查询
子树修改、子树查询等可维护轻儿子的信息、标记
支持：
- 链修改
- 链查询
- 子树修改
- 子树查询
可爱的单 log 噢
ETT
全称 Euler Tour Tree，通过维护欧拉遍历序来维护树
欧拉遍历序（ETR）：维护一个序列，DFS 时每访问到一个点或一条有向边就加入序列. 这样序列长度为 \(3n-2\).
因为是维护序列，所以用任意平衡树都可以
加入点的目的是存储点上的信息，这在 ETR 上可以理解为加入自环
这个序列本身就是一个环
- 换根
找到自环 \((v,v)\) 的位置，断开成两段，序列顺序由“蓝、黄”变成“黄、蓝”。
- 加边
让 \(u,v\) 变成根，然后让 \(v\) 作为 \(u\) 的儿子即可.
找到自环 \((u,u)\) 的位置，在后面插入绿 + 粉。
- 删边
找到边 \((u,v),(v,u)\) 的位置，断成三段，蓝、黄合并
- 路径和查询
需要信息具有可减性，这样你遍历完一个子树过后信息就变成 0 了，抵消掉了
设边权全为 1，假如询问 \(u\to v\) 的路径长度，把向下走的边看成 (，把向上走的边看成 )
取出 \(u\) 到 \(v\) 这一段的括号序列长度就是答案
信息的合并：括号序列一定形如 )))(((( 这样
两个括号序列合并，先拼接起来，再消去匹配的括号
若边权非 1，可以用同样的逻辑去做
- 连通块修改 + 查询
显然转化为区间修改、区间查询
注意到 ETT 不好快速找到父亲和自己代表的子树，多用于维护无根树，支持：
- 换根
- 加边
- 删边
- 连通块的修改 / 查询
- 询问路径长度
“换根”操作与“子树的修改 / 查询”是矛盾的，因为换根使得儿子的顺序混乱了
以下内容不保熟
如何改进？一种思路是维护 ETT 的同时维护一棵 LCT，LCT 只维护树的形态
可以维护一个性质：LCT 中 \(u\) 的实儿子作为 ETT 中的第一个儿子
考虑链修改：假如修改 \((u,v)\)，先令 \(u\to v\) 这一段在 LCT 上是一段实链
然后发现 \(u\to v\) 这一段在 ETT 中是一段连续的区间！就可以修改了.
考虑换根：假如根由 \(u\to v\)
可以先 access(v)，然后找到 \(v\) 的位置，考虑入栈序、出栈序
- 换之前：\(\color{red}{u_1A_1B_1v_1}\ \color{green}{FGv_2EB_2DA_2Cu_2}\)
- 换之后：\(\color{red}{v_1B_1A_1u_1}\ \color{green}{Cu_2DA_2EB_2FGv_2}\)
找到 \(v_1\) 的位置 \(p\)，前后分别在 LCT 上打翻转标记即可，标记的应用写起来比较复杂
不保熟内容结束
但是谁写呢 ╮(╯▽╰)╭
UPD：还真有人写
加上不保熟内容，他就可以做 Sone 1 了，但是双 log 常数大还难写 QAQ
AAAT
这部分参考了这篇博客
其实就是魔改版 LCT，思路比较简单
注意到在 LCT 里面我们想要维护虚子树所有信息
那么考虑直接用平衡树维护一个点所有虚儿子
因为虚儿子之间并无先后顺序可言，且为了保证复杂度能均摊，我们采用 Leafy Splay 维护，易知点数仍然 \(O(n)\)
如图（懒得画图了，采用神 Claris 的图片）：
对于下面这棵以 1 为根的树
在 AAA 树中是这样维护的
考虑一些基本函数与实现
每个点有 son[0],son[1] 表示实链 Splay 的两个儿子，son[2],son[3] 表示虚边 Splay 的两个儿子
- \(\text{Add}(x,y)\) 操作：在 \(x\) 的虚子树内新增点 \(y\)，必要的话新增内部白点.
- \(\text{Del}(x)\) 操作：把 \(x\) 与他父亲之间的虚边断开，必要的话删除没用的内部白点.
- \(\text{Access}(x)\) 操作：把 \(x\) 到根路径上的所有边变成实边，并把 \(x\) 向他所有儿子的边变成虚边.
考虑普通 LCT 的 Access 过程：
void access(int x) {
for (int y = 0; x; y = x, x = fa[x]) {
splay(x);
son[x][1] = y;
up(x);
}
}
每一步都是实虚边的转化，有了 \(\text{Add}\) 和 \(\text{Del}\) 操作，可以很自然的改写成：
void access(int x) {
for (int y = 0; x; y = x, x = fa[x]) {
splay(x);
del(y);
add(x, son[x][1]);
setson(x, 1, y);
up(x);
}
}
- \(\text{Makeroot}(x)\) 操作：与 LCT 一致，注意只交换
son[0]和son[1]. - \(\text{Link}(x, y)\) 操作：
考虑普通 LCT 的 Link 过程：
void link(int x, int y) {
makeroot(x);
splay(x);
f[x] = y;
}
可以很自然的改写成：
void link(int x, int y) {
makeroot(x);
splay(x);
add(y, x);
}
- \(\text{Cut}\) 操作：与 LCT 一致.
- \(\text{Split}\) 操作：与 LCT 一致.
- 子树操作：
方便起见首先 \(\text{Access}(x)\)，这样 \(x\) 向它的孩子连着的肯定都是虚边，\(x\) 的子树部分就是 \(x\) 的虚边 Splay。
void changetree(int x, tag p) {
access(x);
splay(x);
val[x] = atag(val[x], p);
for (int i = 2; i < 4; i++)
if(son[x][i]) tagtree(son[x][i], p, 1);
up(x);
splay(x);
}
data asktree(int x) {
access(x);
splay(x);
data t = data(val[x]);
for (int i = 2; i < 4; i++)
if (son[x][i]) t = t + asum[son[x][i]];
return t;
}
做完了，可以证明是单 log 的。
他可以做 Sone 1，讲一下维护方式：
一个点总共维护的信息有：
- \(\text{in}\)：这个点是否为内部白点
- \(\text{val}\)：这个点的点权
- \(\text{csum}\)：链上信息和
- \(\text{tsum}\)：子树信息和（不包括链上）
- \(\text{asum}\)：所有信息和
csum[x] = val[x] + csum[son[x][0]] + csum[son[x][1]];
tsum[x] = tsum[son[x][0]] + tsum[son[x][1]] + asum[son[x][2]] + asum[son[x][3]];
asum[x] = csum[x] + tsum[x]
维护的标记有：
- \(\text{rev}\)：翻转标记
- \(\text{ctag}\)：链修改标记
- \(\text{ttag}\)：子树修改标记（不包括链上）
\(\text{ttag}\) 的下传方法：
- 如果是在实链中的下传，直接下传到 \(\text{ttag}\)，无需修改。
- 如果是虚边 Splay 中下传到内部点，下传到 \(\text{ttag}\) 并修改。
- 如果是虚边 Splay 中下传到外部点，下传到 \(\text{ttag}\) 和 \(\text{ctag}\) 并修改。
同时还需要做内存回收。然后做完了。
SATT
压轴内容，喜闻乐见
很可惜的是，他被安排到了我的另一篇文章
~~ 完结撒花 ~~
