不知道“树链剖分”、“全局平衡二叉树”等应不应该归类到“动态树”里面...

解决动态树问题的本质是将原树映射到一个高度为 $O(\log n)$ 的树上。

树链剖分

主要是重链剖分，具体略. 支持：

• 链修改
• 链查询
• 子树修改
• 子树查询

这里的修改、查询需要满足可以用数据结构维护.

一般两只 log.

LCT

全称 Link-Cut-Tree，拥有以下函数：

• $\text{get}$, $\text{nrt}$, $\text{up}$, $\text{upd}$, $\text{down}$, $\text{rot}$
• $\text{splay}$
• $\text{access}$
• $\text{makert}$
• $\text{link}$, $\text{cut}$, $\text{split}$, $\text{find}$

具体略.

支持：

• 链修改
• 链查询
• 连边、断边
• 判断连通
• 子树查询可减信息

一只 log

全局平衡二叉树

重链剖分，每条链像 LCT 一样维护成一棵二叉树，如此建树：

记每个点的权值为轻子树大小之和 + 1，求出链的加权中点作为根，然后递归建树.（加权中点：左边之和与右边之和的差最小）

跳轻边，最多 $\log n$ 次；跳树边，轻儿子 size 翻倍，故总树高 $O(\log n)$.

链修改、链查询可拆为二叉树上子树修改、子树查询

子树修改、子树查询等可维护轻儿子的信息、标记

支持：

• 链修改
• 链查询
• 子树修改
• 子树查询

可爱的单 log 噢

ETT

全称 Euler Tour Tree，通过维护欧拉遍历序来维护树

欧拉遍历序（ETR）：维护一个序列，DFS 时每访问到一个点或一条有向边就加入序列. 这样序列长度为 $3n-2$.

因为是维护序列，所以用任意平衡树都可以

加入点的目的是存储点上的信息，这在 ETR 上可以理解为加入自环

这个序列本身就是一个环

• 换根

找到自环 $(v,v)$ 的位置，断开成两段，序列顺序由“蓝、黄”变成“黄、蓝”。

• 加边

让 $u,v$ 变成根，然后让 $v$ 作为 $u$ 的儿子即可.

找到自环 $(u,u)$ 的位置，在后面插入绿 + 粉。

• 删边

找到边 $(u,v),(v,u)$ 的位置，断成三段，蓝、黄合并

• 路径和查询

需要信息具有可减性，这样你遍历完一个子树过后信息就变成 0 了，抵消掉了

设边权全为 1，假如询问 $u\to v$ 的路径长度，把向下走的边看成 (，把向上走的边看成 )

取出 $u$ 到 $v$ 这一段的括号序列长度就是答案

信息的合并：括号序列一定形如 )))(((( 这样

两个括号序列合并，先拼接起来，再消去匹配的括号

若边权非 1，可以用同样的逻辑去做

• 连通块修改 + 查询

显然转化为区间修改、区间查询

注意到 ETT 不好快速找到父亲和自己代表的子树，多用于维护无根树，支持：

• 换根
• 加边
• 删边
• 连通块的修改 / 查询
• 询问路径长度

“换根”操作与“子树的修改 / 查询”是矛盾的，因为换根使得儿子的顺序混乱了

以下内容不保熟

如何改进？一种思路是维护 ETT 的同时维护一棵 LCT，LCT 只维护树的形态

可以维护一个性质：LCT 中 $u$ 的实儿子作为 ETT 中的第一个儿子

考虑链修改：假如修改 $(u,v)$，先令 $u\to v$ 这一段在 LCT 上是一段实链

然后发现 $u\to v$ 这一段在 ETT 中是一段连续的区间！就可以修改了.

考虑换根：假如根由 $u\to v$

可以先 access(v)，然后找到 $v$ 的位置，考虑入栈序、出栈序

• 换之前：$\color{red}{u_1A_1B_1v_1}\ \color{green}{FGv_2EB_2DA_2Cu_2}$
• 换之后：$\color{red}{v_1B_1A_1u_1}\ \color{green}{Cu_2DA_2EB_2FGv_2}$

找到 $v_1$ 的位置 $p$，前后分别在 LCT 上打翻转标记即可，标记的应用写起来比较复杂

不保熟内容结束

但是谁写呢 ╮(╯▽╰)╭

UPD：还真有人写

加上不保熟内容，他就可以做 Sone 1 了，但是双 log 常数大还难写 QAQ

AAAT

这部分参考了这篇博客

其实就是魔改版 LCT，思路比较简单

注意到在 LCT 里面我们想要维护虚子树所有信息

那么考虑直接用平衡树维护一个点所有虚儿子

因为虚儿子之间并无先后顺序可言，且为了保证复杂度能均摊，我们采用 Leafy Splay 维护，易知点数仍然 $O(n)$

如图（懒得画图了，采用神 Claris 的图片）：

对于下面这棵以 1 为根的树

在 AAA 树中是这样维护的

考虑一些基本函数与实现

每个点有 son[0],son[1] 表示实链 Splay 的两个儿子，son[2],son[3] 表示虚边 Splay 的两个儿子

• $\text{Add}(x,y)$ 操作：在 $x$ 的虚子树内新增点 $y$，必要的话新增内部白点.
• $\text{Del}(x)$ 操作：把 $x$ 与他父亲之间的虚边断开，必要的话删除没用的内部白点.
• $\text{Access}(x)$ 操作：把 $x$ 到根路径上的所有边变成实边，并把 $x$ 向他所有儿子的边变成虚边.

考虑普通 LCT 的 Access 过程：

void access(int x) {
    for (int y = 0; x; y = x, x = fa[x]) {
        splay(x);
        son[x][1] = y;
        up(x);
    }
}

每一步都是实虚边的转化，有了 $\text{Add}$ 和 $\text{Del}$ 操作，可以很自然的改写成：

void access(int x) {
    for (int y = 0; x; y = x, x = fa[x]) {
        splay(x);
        del(y);
        add(x, son[x][1]);
        setson(x, 1, y);
        up(x);
    }
}

• $\text{Makeroot}(x)$ 操作：与 LCT 一致，注意只交换 son[0] 和 son[1].
• $\text{Link}(x, y)$ 操作：

考虑普通 LCT 的 Link 过程：

void link(int x, int y) {
    makeroot(x);
    splay(x);
    f[x] = y;
}

可以很自然的改写成：

void link(int x, int y) {
    makeroot(x);
    splay(x);
    add(y, x);
}

• $\text{Cut}$ 操作：与 LCT 一致.
• $\text{Split}$ 操作：与 LCT 一致.
• 子树操作：

方便起见首先 $\text{Access}(x)$，这样 $x$ 向它的孩子连着的肯定都是虚边，$x$ 的子树部分就是 $x$ 的虚边 Splay。

void changetree(int x, tag p) {
    access(x);
    splay(x);
    val[x] = atag(val[x], p);
    for (int i = 2; i < 4; i++)
        if(son[x][i]) tagtree(son[x][i], p, 1);
    up(x);
    splay(x);
}
data asktree(int x) {
    access(x);
    splay(x);
    data t = data(val[x]);
    for (int i = 2; i < 4; i++)
        if (son[x][i]) t = t + asum[son[x][i]];
    return t;
}

做完了，可以证明是单 log 的。

他可以做 Sone 1，讲一下维护方式：

一个点总共维护的信息有：

• $\text{in}$：这个点是否为内部白点
• $\text{val}$：这个点的点权
• $\text{csum}$：链上信息和
• $\text{tsum}$：子树信息和（不包括链上）
• $\text{asum}$：所有信息和

csum[x] = val[x] + csum[son[x][0]] + csum[son[x][1]];
tsum[x] = tsum[son[x][0]] + tsum[son[x][1]] + asum[son[x][2]] + asum[son[x][3]];
asum[x] = csum[x] + tsum[x]

维护的标记有：

• $\text{rev}$：翻转标记
• $\text{ctag}$：链修改标记
• $\text{ttag}$：子树修改标记（不包括链上）

$\text{ttag}$ 的下传方法：

• 如果是在实链中的下传，直接下传到 $\text{ttag}$，无需修改。
• 如果是虚边 Splay 中下传到内部点，下传到 $\text{ttag}$ 并修改。
• 如果是虚边 Splay 中下传到外部点，下传到 $\text{ttag}$ 和 $\text{ctag}$ 并修改。

同时还需要做内存回收。然后做完了。

SATT

压轴内容，喜闻乐见

很可惜的是，他被安排到了我的另一篇文章

~~ 完结撒花 ~~