P8735 蓝跳跳 题解
Statement
给出 \(k,p,L\)，数序列 \(a\)，满足如下条件：
- \(1\le a_i\le k\)
- \(\sum_i a_i=L\)
- \(\nexists i,a_i\ge p\land a_{i+1}\ge p\)
答案对 \(20201114\) 取模，\(p\le k\le 1000, L\le 10^{18}\).
Solution
30 pts
注意到可以 dp，记 \(f(i,0/1)\) 为凑出 \(i\) 的方案数，其中最后一个数是否 \(<p\).
\[ \begin{aligned}
f(i,1)&=\sum_{1\le j<p} f(i-j,1)+f(i-j,0)\\
f(i,0)&=\sum_{p\le j\le k} f(i-j,1)\\
f(0,1)&=1
\end{aligned}
\]
答案为 \(f(L,0)+f(L,1)\)，时间 \(O(kl)\)，预计得分 30 pts.
我做了个没什么用的前缀和优化：记 \(g(i,0/1)\) 为 \(f(i,0/1)\) 的前缀和，推式子可得
\[ \begin{aligned}
g(i,0)&=g(i-1,0)+g(i-p,1)-g(i-k-1,1)\\
g(i,1)&=2g(i-1,1)+g(i-1,0)-g(i-p,1)-g(i-p,0)\\
g(0,1)&=1
\end{aligned}
\]
答案为 \(g(L,0)-g(L-1,0)+g(L,1)-g(L-1,1)\)，时间 \(O(L)\)，预计得分 30 pts.
60 pts
用矩阵快速幂优化上述 dp，\(f\) 或 \(g\) 都可以，时间 \(O(k^3\log L)\)，带有 8 倍常数，预计得分 60 pts.
100 pts
考虑把 \(f(i,0)\) 拆成若干 \(f(i,1)\)，这样就可以线性递推了！
不用写任意模数乘法，直接暴力乘就行，预处理系数也可以直接暴力，这是 \(O(k^2\log L)\) 的，期望 100 pts.
也可以用 \(g\) 算，把 \(g(i,0)\) 拆成若干 \(g(i,1)\) 就行了，预处理系数时会更优一点，需要稍微推一下式子。
你当然可以再写一个任意模数乘法做到 \(O(k\log k\log L)\)。
因为目前各种板子都还没打，所以暂时还没有代码。
