P8734 奇偶覆盖 题解

Statement

矩形面积并，但是覆盖奇数次、覆盖偶数次的面积要分别输出。

Solution

提供一种不费脑子的做法：

首先离散化、扫描线，问题变成维护区间 +1-1、询问全局有多少正数是奇数、多少正数是偶数。

若去除“正数”的条件，这是很容易用一个标记下传的线段树维护的，区间分别维护 0,1 个数、加法标记，一个区间 +1 或 -1 就 swap(cnt0, cnt1)。

但是有“正数”的条件，这时偶数的答案需要减去 0 的数量，而“区间 +1-1、询问全局 0 的数量”就用原版扫描线线段树的方法来维护就行了！

所以我们维护两棵线段树，一棵标记下传，一棵不下传，分别维护奇偶数的数量、0 的数量，修改时两棵线段树同步修改即可。

时间 \(O(n\log n)\)。

代码很可读：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
struct Rec {
	int Lx, Ly, Rx, Ry;
} rec[N];
int n;

struct Operation {
	int L, R, x, add;
} Ops[N];
int optot;

int Ytot, Y[N];

namespace SegA {
	int len[N << 2], add[N << 2], zero[N << 2];
#define lc (u << 1)
#define rc ((u << 1) | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
	void up(int u) {
		if (add[u]) {
			zero[u] = 0;
		} else {
			zero[u] = zero[lc] + zero[rc];
		}
	}
	void build(int u, int l, int r) {
		len[u] = Y[r + 1] - Y[l];
		zero[u] = len[u];
		add[u] = 0;
		if (l == r) return;
		build(lc, l, mid), build(rc, mid + 1, r);
	}
	void upd(int u, int l, int r, int x, int y, int v) {
		if (y < l || r < x) return;
		if (x <= l && r <= y) {
			add[u] += v;
			if (add[u]) {
				zero[u] = 0;
			} else {
				if (l == r) zero[u] = len[u];
				else zero[u] = zero[lc] + zero[rc];
			}
			return;
		}
		upd(lc, l, mid, x, y, v), upd(rc, mid + 1, r, x, y, v), up(u);
	}
#undef lc
#undef rc
#undef mid
}
namespace SegB {
	int len[N << 2], add[N << 2], odd[N << 2], even[N << 2];
#define lc (u << 1)
#define rc ((u << 1) | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
	void up(int u) {
		odd[u] = odd[lc] + odd[rc];
		even[u] = even[lc] + even[rc];
	}
	void Add(int u) {
		add[u] ^= 1, swap(odd[u], even[u]);
	}
	void down(int u) {
		if (add[u]) Add(lc), Add(rc), add[u] ^= 1;
	}
	void build(int u, int l, int r) {
		len[u] = Y[r + 1] - Y[l], add[u] = 0, odd[u] = 0, even[u] = len[u];
		if (l == r) return;
		build(lc, l, mid), build(rc, mid + 1, r);
	}
	void upd(int u, int l, int r, int x, int y) {
		if (y < l || r < x) return;
		if (x <= l && r <= y) return Add(u);
		down(u), upd(lc, l, mid, x, y), upd(rc, mid + 1, r, x, y), up(u);
	}
#undef lc
#undef rc
#undef mid
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> rec[i].Lx >> rec[i].Ly >> rec[i].Rx >> rec[i].Ry;
		Y[++Ytot] = rec[i].Ly, Y[++Ytot] = rec[i].Ry;
		Ops[++optot] = (Operation){rec[i].Ly, rec[i].Ry, rec[i].Lx, 1};
		Ops[++optot] = (Operation){rec[i].Ly, rec[i].Ry, rec[i].Rx, -1};
	}
	sort(Y + 1, Y + Ytot + 1);
	Ytot = unique(Y + 1, Y + Ytot + 1) - Y - 1;
	auto GetY = [&](int y) {
		return lower_bound(Y + 1, Y + Ytot + 1, y) - Y;
	};
	sort(Ops + 1, Ops + optot + 1, [&](Operation u, Operation v) -> bool {
		return u.x == v.x ? u.add > v.add : u.x < v.x;
	});
	for (int i = 1; i <= optot; ++i) 
		Ops[i].L = GetY(Ops[i].L), Ops[i].R = GetY(Ops[i].R) - 1;
	--Ytot;
	SegA::build(1, 1, Ytot);
	SegB::build(1, 1, Ytot);
	ll Odd = 0, Even = 0;
	for (int i = 1; i <= optot; ++i) {
		SegA::upd(1, 1, Ytot, Ops[i].L, Ops[i].R, Ops[i].add);
		SegB::upd(1, 1, Ytot, Ops[i].L, Ops[i].R);
		if (Ops[i].x != Ops[i + 1].x && i != optot) {
			ll len = Ops[i + 1].x - Ops[i].x;
			Odd += len * SegB::odd[1];
			Even += len * (SegB::even[1] - SegA::zero[1]);
		}
	}
	cout << Odd << '\n' << Even << '\n';
	return 0;
}