泰勒公式 笔记

用来构造一个多项式来近似一个函数

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

大概就是用 $n$ 阶导数来拟合一下。

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严谨推导：

假设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 能近似表达为 $g_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n=\sum_{i=0}^na_i(x-x_0)^i$

且 $x\to x_0$ 时误差仅为比 $(x-x_0)^n$ 高阶的无穷小

考虑令 $g_n(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶导数都分别等于 $f(x_0),f'(x_0),f''(x_0),\ldots,f^{(n)}(x_0)$

也就是 $g_n^{(m)}(x_0)=f^{(m)}(x_0)$

怎么求 $g_n(x)$ 的导？

显然

$$g_n^{(m)}(x+x_0)=\dfrac{m!}{0!}a_m+\dfrac{(m+1)!}{1!}a_{m+1}x+\dfrac{(m+2)!}{2!}a_{m+2}x^2+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(k+m)!}{k!}a_{k+m}x^k$$

用 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 做了 $m$ 次推出来的

所以

$$g_n^{(m)}(x) =\dfrac{m!}{0!}a_m+\dfrac{(m+1)!}{1!}a_{m+1}(x-x_0)+\dfrac{(m+2)!}{2!}a_{m+2}(x-x_0)^2+\cdots$$

上面都是在求导

所以 $f^{(m)}(x_0)=g_n^{(m)}(x_0)=m!a_m$，推出 $a_m=\dfrac{f^{(m)}(x_0)}{m!}$

然后就证完了！$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

注意到 $n$ 越大 $g_n(x)$ 所近似的 $U(x_0)$ 越大就越近似，开头那个公式就是 $n\to\infty$ 的情况.

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在 $x_0=0$ 时他就变成了“麦克劳林公式”

即：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

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常用展开，$n$ 都是从 $0$ 到 $\infty$：

$$\begin{aligned} e^x&=\sum_{n}\dfrac{1}{n!}x^n\\ \sin x&=\sum_{n}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ \cos x&=\sum_{n}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\ \ln(1+x)&=\sum_n\dfrac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\\ \dfrac{1}{1-x}&=\sum_{n}x^n\\ \dfrac{1}{1+x}&=\sum_{n}(-1)^nx^n\\ \end{aligned}$$

都不难代入式子来证明，后两个也有其他方法证.

不常用展开，$B_n$ 为伯努利数：

$$\begin{aligned} (1+x)^a&=1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n\\ \arctan x&=\sum_{n}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\\ \arcsin x&=\sum_{n}\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}\\ \tan x&=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} \end{aligned}$$