P8776 最长不下降子序列 题解

Statement

最长不下降子序列（LIS），但是有一次机会，让序列中连续 $k$ 个数改成同一个数。$n\le 10^5,a_i\le 10^6$.

Solution

记 $f(i)$ 为以 $i$ 结尾的 LIS 长度，$g(i)$ 为以 $i$ 开始的 LIS 长度，可预处理.

答案一定是 $f(i) + k + g(j)$ 这样拼接起来的，其中 $i+k+1\le j,a_i\le a_j$.

有人问我为什么？只需证“一定存在一种修改方式比不修改不劣”，考虑找出一个 LIS，然后在其中找一个数，把以他开头的 $k$ 个数都修改为他，就一定不劣.

考虑把 $i$ 从右往左移动，这时可选的 $g(j)$ 数量每次增加 1，显然的考虑每次在 $a_j$ 位置插入 $g(j)$ 然后求 $[a_i..mx]$ 区间最大值，做完了.

$O(n\log m)$，$m$ 为值域.