CIMOTA 的题

Statement

I_AM_CIMOTA 出了一道数据结构题：

1. 添加一个操作：把 \([l,r]\) 区间中的数加上 \(x\)。
2. 询问如果我执行了 \([l,r]\) 区间的操作，\(pos\) 这一个点的值会变为多少。

Solution

在线做法：可持久化线段树，标记永久化的话比较方便。

离线做法：分别在时间 \(l-1,r\) 挂一个 \(pos\) 的询问以及 \(-1,1\) 的贡献系数. 然后扫一下.

在线做法 2：树套树：

• 把每个操作看成一个元素 \((l_i,r_i,x_i)\).
• 每次询问相当于在 \([l,r]\) 区间的元素中，对于每个 \(i\) 若 \(pos\in[l_i,r_i]\)，那么答案 += \(x_i\)，求最终的答案.
• 众所周知这可以树套树，外层维护操作序列、内层维护序列值；也可以外层每次 \([l_i,r_i]\) 插入元素，内层维护在 \(id\) 单点加 \(x_i\)，查询时外层单点路径查、内层区间和

离线做法 2：按时间分治：

• 每个操作对询问的贡献独立，且可转化为前缀和相减的形式，故可以分治

离线做法 3：

• 类似线段树分治，每个节点维护该时间区间内询问了哪些 \(pos\)，此时树上有 \(m\log m\) 个询问.
• 同时每个点维护该时间区间内的修改情况，也就是维护若干 add 标记不同的连续区间.
• 每次添加操作就找到当前时间到根一路上的所有点进行插入，每个点插入一个 \([l,r,add]\) 的元素最多增加两个区间。
• 如果子树被塞满了就应用修改并回收空间，这样空间是 \(O(n)\).

在线做法 3：二进制分组

在线做法 4：分块

....

（有时间出个数据搬到 OJ 上给大家做一做。）