CF650D Zip-line 题解

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Statement

支持单点改的 LIS（最长严格上升子序列），修改之间互不影响，\(n,m\le 4\cdot 10^5\).

Solution

经典结论：

记强制选第 \(i\) 个数前 \(i\) 个数的 LIS 为 \(f(i)\)，强制选第 \(i\) 个数后 \(i\) 个数的 LIS 为 \(g(i)\). 若 \(f(i)+g(i)-1=ans\)，则 \(i\) 在原序列某些 LIS 中，且 \(i\) 一定在 LIS 的第 \(f(i)\) 个（反证，\(f(i)\) 的极大性）。

故 \(i\) 是 LIS 的必经点的充要结论是：\(f(i)+g(i)-1=ans\) 且不存在另一个 \(j\) 满足 “\(f(j)+g(j)-1=ans\) 且 \(f(i)=f(j)\)”.

然后就可以做了！

在此题中，我们求出 \(f,g\)，记答案为 \(lans\)，新的 \(f,g\) 为 \(f',g'\).

观察到显然答案可能为 \(lans-1,lans,lans+1\).

然后对于把 \(a_x\) 修改为 \(y\) 的操作，讨论：

• 若选了 \(a_x\)，显然答案为 \(f'(x)+g'(x)-1\)
• 若不选 \(a_x\)，
  • 若 \(a_x\) 是原序列中必选的点，答案为 \(lans-1\)
  • 否则，\(a_x\) 可被其他点替代 / 可不出现在 LIS 中，答案为 \(lans\)
• 最终取答案的最大值即可

\(f'(x)\) 和 \(g'(x)\) 离线直接用取 max 的树状数组即可.