gym105167E Erdős-Ginzburg-Ziv 题解

题意：给 \(p\) 和 \(p-1\) 个边权，要用这些边权构造树，每个点编号 \(0\sim p-1\)，使得每个点 \(u\) 到 \(0\) 的距离 \(\bmod\ p=u\)，无解输出 -1，保证 \(p\) 是质数、\(p\le 10^6\)、边权 \(\in [1..p-1]\).

Solution

考虑加边的过程，树最开始只有根节点 0，然后通过加边不断地引入新的点

首先一定是有解的，证明：若边 \(x\) 不能被加入，则 \(\forall\) 树上的点 \(y\)，\(y+x\) 也在树上（否则就有机会让该边加入），又因为 \(p\) 为质数，推出所有点都在树上，矛盾.

对于一个边权 \(x\)，我们想找到一个 \(k\)，使得 \(kx\bmod p\) 在树上，且 \((k+1)x\bmod p\) 不在树上，这样我们可以连接这两个点.

怎么找呢？考虑用一个奇怪的二分，满足 \(l\cdot x\bmod p\) 总是在树上，\(r\cdot x\bmod p\) 总是不在树上，\(l+1=r\) 时就停止；

每次判断 \(mid\cdot x\bmod p\) 是否在树上，若不是就 \(r\gets mid\)，否则 \(l\gets mid\).

这样距离每次减半，时间复杂度 \(O(p\log p)\).

初始 \(l=0\)，\(r=a\cdot x^{-1}\)，\(a\) 是最大的一个不在树上的点

这样的二分很神奇，他不需要任何单调性，只需要 \(l\) 和 \(r\) 过程中一直满足某种相反的性质即可，最终能找到一组相邻的性质相反的位置.