P2943 Cleaning Up G 题解

P2943 Cleaning Up G

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Solution

记 \(f(i)\) 为前 \(i\) 头牛的最小代价，显然有

\[ f(i)=\min_{j=1}^i\{ f(j-1)+w(j,i) \} \]

\(w(l,r)\) 为 \([l,r]\) 中颜色数的平方，也就是

\[ w(l,r)=\left( \sum_{i=l}^r[suf(i)>r] \right)^2 \]

边界：\(f(0)=0,f(i)=\inf\)

显然是 \(O(n^2)\) 的

试图找决策单调性规律无果

发现答案不超过 \(n\)，因为可以每个人单独一段

此时若一段颜色数超过了 \(\sqrt n\) 就剪枝掉了

于是就可以 \(O(n\sqrt n\log n)\) 了

如何去掉 \(\log\)？

我们需要预处理出 \(g(i,j)\) 表示最左的位置 \(pos\) 使得 \([pos..i]\) 中的颜色数 \(=j\).

发现它有很多单调性啊，这里举两个例子：

根据颜色数的式子，观察出 \(g(i,j)\le g(i-1,j-1)\)

于是转化为 \(O(n)\) 条斜线，每条线的决策点单调递减

一条条线地计算，每次计算都开一个 \(suf\) 的桶即可，是 \(O(n\sqrt n)\) 的

另一种思路是：

发现 \(g(i,j)\) 随着 \(i\) 的增加，单调不降

于是维护一个指针、一个桶即可

题目还行，数据有点水...