P8314 Parkovi 题解
题意：树，边有边权，求一种选出 \(k\) 个点染色的方案，使得每个点到最近的一个被染色点的距离的最大值最小，\(n\le2\cdot10^5\).
Solution
先看部分分：
- \(n\le 20\)：直接 \(C_n^k\) 爆搜.
- \(k=1\)：对每个点 \(u\) 求出 \(f(u)\) 和 \(g(u)\) 分别表示 \(u\) 到子树内点距离的最大值、\(u\) 到子树外点距离的最大值. 这是可以转移的：\(f(u)\) 从儿子转移而来，\(g(u)\) 从父亲的 \(g\) 和兄弟的 \(f+w(v,fa(v))\) 的前后缀最大值得到.
- 链：二分答案，发现 check 直接贪心地染色即可.
我们从链的部分分类似地推广，考虑树能不能贪心地染色. 感受一下，发现其实是可以的！策略大概是我们想要染色点尽量靠上。
具体地说，我们二分 \(x\) 表示最大距离为 \(x\)，定义 \(u\) 被已经染色的 \(v\) “覆盖”当且仅当它们距离 \(\le x\)，问题变成了选最少的点染色使得整棵树被覆盖.
考虑自底向上地贪心染色，每次想要一棵子树被覆盖. 记 \(mx(u)\) 为 \(u\) 子树内未被覆盖的点与 \(u\) 距离的最大值，\(u\) 必须染色的条件大概就是 \(mx(u)\le x\) 且 \(mx(u)+w(u,fa(u))>x\)，现在问题变成了维护 \(mx(u)\).
\(mx(u)\) 可以从儿子得到，于是一个简单的想法是 \(mx(u)=\max_{v\in son(u)}\{mx(v)+w(u,v)\}\). 但是有个 bug：可能 \(u\) 子树中的点被 \(u\) 兄弟子树中的染色点所覆盖！
发现这也是好修的：再记 \(mn(u)\) 为 \(u\) 子树内距离 \(u\) 最近的染色点的距离，显然 \(mn\) 可以转移，而 \(mx\) 再加个关于 \(mn\) 的条件就行了.
上面是思路，下面是具体式子与细节：
\(u\) 被染色的条件：\(mx(u)+w(u,fa(u))>x\)
\(u\) 被染色时，\(mx(u)=-\inf,mn(u)=0\)
注意初始 \(mx=-\inf,mn=\inf\)
特判：根的 \(mx\) 不为 \(-\inf\) 时必须得染色.
最后输出答案时，若点数不足 \(k\)，就再随便乱选几个点凑足 \(k\) 即可.
时间：\(O(n\log V)\)，\(V\) 为值域（1e9）
