P3206 城市建设 题解

Statement

动态边权的最小生成树。$n\le2\cdot10^4,m,q\le5\cdot10^4$

Solution

法一：改边权相当于删一条边再加一条边. 考虑 LCT 维护最小生成树，加边好做，但删边比较麻烦，于是采用线段树分治，撤销一条边是好做的，cut 再 link 一下就行了. $O(n\log n\log q)$，常数较大.

法二：两个结论：已知原图的一个边集 $S$，

• 把 $S$ 所有边权设为 $-\inf$，记此时原图的最小生成树的不属于 $S$ 的边的集合为 $T$，接下来 $S$ 每条边无论边权取何值，原图的最小生成树还包含 $T$.

  简洁证明：$S$ 边权的改变只会使 $S$ 中被选上的边变少，而一条边被选入 $T$ 当且仅当它连接了两个之前从未连通的连通块，容易发现 $T$ 中的这些边的连接作用是即使 $S$ 中的边也无法替代的，所以必须被选上.

• 把 $S$ 所有边权设为 $\inf$，在原图中找出最小生成树，记不在树边上的非 $S$ 边的集合为 $T$，接下来 $S$ 每条边无论边权取何值，原图的最小生成树不包含 $T$.

  简洁证明：$S$ 边权变小只会让 $S$ 加入的边变多，假如 $S$ 中一条边加入，考虑 LCT 维护最小生成树的过程，被替换的一定是树边，也就是非树边一定不会反而成为树边.

考虑如何把两个结论用起来：

还是把修改看成一次加入和删除，发现按结论，加边可能可做，但删边是显然困难的；再考虑线性扫一遍处理询问的过程，发现一个询问前面的所有修改都已经应用，而它后面的所有修改还未应用；再往右扫一个，发现难点在于我们无法知道当前最小生成树形态。这启发我们按时间分治.

设当前处理的操作区间为 $[l,r]$，此时该区间内的边我们不确定，但其他边我们都确定了；说具体点就是 $[1..l-1]$ 内的边权已被修改，$[r+1,q]$ 内的边权还未修改，但 $[l,r]$ 内的修改将要处理，还不知道这些边的修改情况。这时假如我们往左走，右半部分就被确定；假如往右走，左半部分就被确定。现在的问题变成了求加入一些边后的最小生成树.

考虑上面两个结论：第一个告诉我们已确定的边中有一些是一定被选的，这样可以先把这些边组成的连通块缩点，算出边权和；第二个告诉我们可以删除一些无用的边. 假如我们在进入 $[l,r]$ 时已经得到这样简化后的图，该区间的长度为 $len$，估计一下边和点的量级：

对于第一个操作，最多 $2\cdot len$ 个点不能被缩，此时 $[l,r]$ 组成的边集形成 $len$ 个连通块；故点数是 $O(len)$；而第二个操作保证了边与点的量级同阶，故可以直接暴力加边 Kruskal，注意还要维护这个简化后的图，即还要缩点、删边.

缩点用可撤销并查集，删边随便记录一下，就做完了，注意递归到底时要把该操作进行了，即更改该边权值、输出答案.

然后做完了，若 Kruskal 为单 log，$T(n)=2T(\frac n2)+O(n\log n)=O(n\log^2n)$.