P3242 接水果 题解
Statement
树，给 \(m\) 条带权路径 \((a,b,v)\)，\(q\) 次询问包含 \((u,v)\) 的路径中的第 \(k\) 小权值.
Solution
这篇题解延伸出了一些东西。
首先路径的包含关系转为矩形（二维限制关系）是比较显然的.
具体地，\((u,v)\) 包含 \((a,b)\) 有两种情况：
- \(u,v\) 无祖先关系：\(a\) 在 \(u\) 子树内，且 \(b\) 在 \(v\) 子树内，写出来就是 \(\text{dfn}(u)\le\text{dfn}(a)\le\text{dfn}(u)+\text{siz}(u)-1\) 且 \(\text{dfn}(v)\le\text{dfn}(b)\le\text{dfn}(v)+\text{siz}(v)-1\).
- \(u,v\) 有祖先关系：设 \(u\) 为 \(v\) 祖先，\(w\) 为 \(u\to v\) 路径上的第二个点（\(u\) 向 \(v\) 方向的第一个儿子），则有 \(a\) 在 \(v\) 子树内，且 \(b\) 在 \(w\) 子树外，写出来：\(\text{dfn}(v)\le\text{dfn}(a)\le\text{dfn}(v)+\text{siz}(v)-1\) 且 \(1\le\text{dfn}(b)\le\text{dfn}(w)-1\) 或 \(\text{dfn}(w)+\text{siz}(w)\le\text{dfn}(b)\le n\).
注意到这样的 \((a,b)\) 的取值范围就是矩形，第二种情况是两个矩形，然后这是一步转化.
然后现在是 \((u,v)\) 被包含，也即问题变成了求包含一个点的权值第 \(k\) 小矩形.
这怎么做呢，一种显然的方法是整体二分：一次二分 \(x\) 就把所有权值 \(\le x\) 的矩形加入，判断这个点被包含了多少次.
那如果我把题改成强制在线怎么办呢！！！
先不考虑强制在线，我们可以把每个询问点离线下来排序，问题变成了需要支持区间插入一个数、区间删除一个数、单点查第 \(k\) 大.
一看就很树套树，那假装我们使用外层线段树、内层平衡树，考虑标记永久化，发现是三 log 的.
具体地，对于区间插入，我们找到外层线段树上 \(\log\) 个点，对这 \(\log\) 个点进行插入，删除类似. 这样他们儿子没有应用到这些更新，怎么办呢，你查一个叶子时，找出它以及它的所有 \(\log\) 个祖先，对这 \(\log\) 棵平衡树求他们并起来的第 k 大.
众所周知，这只能最外层二分、用排名之和判定来做（二逼平衡树），这样修改是双 log、查一次是三只 log 的，甚至不如整体二分！！！
怎么办呢，我们发现问题在于多棵平衡树无法一起二分，那我们改成外层线段树、内层权值线段树.
这样，还是同样地标记永久化，对于区间插入，对内层 \(\log\) 棵权值线段树进行单点加，区间删除类似；对于单点查，我们同样地拎出根到叶子路径上 \(\log\) 棵权值线段树，发现这时就可以多棵权值线段树一起二分了，复杂度降为双 log.（也可参考二逼平衡树的多种做法的对比）
这样我们就做完了离线问题，那强制在线怎么办呢？
发现直接持久化一下就行了，（可持久化树套树，参考 bzoj3489），时间并未增加，空间升为双 log.
具体怎么做呢，假如我们已经可以持久化了，那我们把扫描线的过程持久下来，在线询问直接在对应版本询问即可；
发现外层持久化是容易的（只维护内层线段树的根），而外层复制一次节点，内层线段树肯定不能全部复制，发现因为是单点修改，还是只复制发生更改的节点即可，然后做完了.
那如果是区间插入、区间删除、区间查第 k 小，可以离线，怎么办呢！！！
发现外层线段树区间查询，经过的点数是 \(\log\) 级别的，然后把这些点拿出来一起二分就行了.
强制在线是一样的，复杂度都没有增加.
那我们回归到原问题，我常数太大了怎么办！！！
尝试把外层线段树改成树状数组，区间插入、删除可以转化为前缀插入、删除，单点查可以变成两段前缀相减得到的树的 kth，这同样是单 log 的.
发现这样可以扩展到区间查询.
然后树状数组理论上是可以持久化的……
当然还有其他各种做法，比如 K-D Tree，树上莫队 + 值域分块等等。
总结：一道题的价值不仅在于过掉它，更是在于要总结方法、结论、trick 和规律，完善你的思考、思维方式，更好的是你通过这道题进行延伸、温故而知新，比如想他的加强版可不可以这样做，如果不行还能怎样做，这样就可以自己出题目，可以为师矣！
