动态图连通性笔记

首先离线的话有几种方法：

• 线段树分治
• 动态维护最大生成树：边的权值为他的（下一次）删除时间，加边正常做，询问时问路径最小值是否小于当前时刻.

动态图连通性 Holm-de Lichtenberg-Thorup (HLT)

• 暴力：维护生成森林，若删树边则暴力找另一条边能替代这条树边.

• 思想：给每条边赋一个“不重要度”. 每次未成功重连则提升之.

• 算法：给每条边赋一个等级 \(\ell(e)\)，初始为 0. 维护 \(\ell\) 意义下的最大生成森林：\(G_i=(V=V(G),E=\{e\in E(G)\mid\ell(e)\ge i\})\)（不需显式维护），\(F_i=G_i\cap F\)，维护以下性质：

  1. \(F_i\) 是 \(G_i\) 的生成森林 \(\Longleftrightarrow\) \(F_i\) 连通性与 \(G_i\) 相同 \(\Longleftrightarrow\) \(F_i\) 是以 \(\ell(e)\) 为边权的最大生成森林（树）.（显然.）
  2. \(G_i\) 每个连通块大小 \(\le\left\lfloor\frac n{2^i}\right\rfloor\)（保证边权上界为 \(\lceil\log_2n\rceil\)）.

  删一条树边 \(e=(v,w)\) 后我们寻找重连边 \(\text{reconnect}(e,\ell(e))\).

  性质 1 告诉我们重连边 \(e'\) 满足 \(\ell(e')\le\ell(e)\)，不然原树不是最大的. 故从 \(\ell(e)\) 开始按 \(\ell\) 降序找：

  \(\text{reconnect}\left(e=(v,w),k\right)\)：\(F_k\) 上 \(e\) 把树分为 \(T_v,T_w\)（点集），不妨设 \(T_v\) 点数较小，把 \(T_v\) 上等级 \(=k\) 的边升到 \(k+1\). 【由于 \(T_v\) 点数较小，性质 2 仍满足（更具体地，\(T_v\) 点数 \(\le\left\lfloor\frac{连通块点数}2\right\rfloor\)），性质 1 显然满足.】然后找 \(T_v\) （图上）连出的等级 \(k\) 的边进行重连，若能则结束，否则升一级. 【此时这些边两侧都在 \(T_v\)，而 \(T_v\) 在 \(F_{k+1}\)，显然不破坏性质 1.】若仍未成功，尝试 \(\text{reconnect}(e,k-1)\).

• 时间：由性质 2，\(i>\lceil\log_2n\rceil\) 时 \(G_i\) 就没点了，故 \(\ell(e)\le\lceil\log_2n\rceil\). 然后推理：

  1. 每条边只被上移 \(\log n\) 次.（显然）
  2. 总的来看，每条边只 \(\log n\) 次出现在 \(\text{reconnect}\).（因为每次失败都会上移.）
  3. 将一条边设为树边只需 \(O(\log n)\) 次树操作.（显然）
  4. 每次树操作可用 ETT, LCT, Top Tree, AAA 等之一完成，是 \(O(\log n)\).

  故修改 \(O(\log^2n)\)，查询（\(\Leftrightarrow\) 在 \(F_0\) 上查）是 \(O(\log n)\).

• 实现细节：对每个 \(x,l\) 维护从 \(x\) 出发、等级 \(l\) 的非树边列表；在 \(F_k\) 上需枚举一些点（一个连通块 / 子树）中有哪些点有等级 \(k\) 的非树边，这个可对所有“有对应等级的点”在动态树上打标记，（显然复杂度对的）.

代码咕.