最基础的就不说了

1

证明：

$\sum_{i=0}^n(C_n^i)^2=\sum_{i=0}^nC_n^i\cdot C_n^i=\sum_{i=0}^nC_n^i\cdot C_n^{n-i}=C_{2n}^n$

2

证明：

由二项式定理，$((-1)+1)^n=\sum_{i=0}^nC_n^i\cdot1^{n-i}\cdot(-1)^i$

当 $n=0$ 时特别代入一下得原式 $=1$

3

$\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}C_n^{2i}=2^{n-1}$，特别的在 $n=0$ 时该式 $=1$

证明：

由 2 以及 $\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n$ 容易得出

4

证明：

5

证明：

观察第二个式子：发现 Sigma 的条件实际上是在限制两个组合数不为 $0$，放大条件不影响答案，故可以直接放大条件，然后运用范德蒙德卷积式.

6

证明：

考虑组合意义：从 $r$ 里面拿出 $m$ 个，再从 $m$ 个里面拿出 $k$ 个，相当于从 $r$ 里面先拿出 $k$ 个，再拿出 $m-k$ 个.

7

证明：

原式 $=\sum_{i=l}^rC_{n+i}^n$

相当于杨辉三角中的同一列一段连续区间的和

而 $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$

故 $C_{n+r+1}^{n+1}=C_{n+r}^n+C_{n+r}^{n+1}=C_{n+r}^n+C_{n+r-1}^n+C_{n+r-1}^{n+1}=C_{n+r}^n+C_{n+r-1}^n+C_{n+r-2}^n+C_{n+r-2}^{n+1}=\cdots=C_{n+l}^{n+1}+\sum_{i=l}^rC_{n+i}^n$

故原式 $=C_{n+r+1}^{n+1}-C_{n+l}^{n+1}$

8

证明：直接展开即可

你会得到以下式子：

$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iC_n^iC_i^ja^jb^{i-j}c^{n-i}$

变换一下变量即可

9

其中 $f_n$ 表示斐波那契数列的第 $n$ 项。

证明：

归纳法：$n=1$ 时原式 $=1=f_1$，$n=2$ 时原式 $=2=f_2$；

由 $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$，

$n>2$ 时原式 $=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}C_{n-i-1}^{i-1}+\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}C_{n-i-1}^i=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}2\right\rfloor}C_{n-2-i}^i+\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}2\right\rfloor}C_{n-1-i}^i=f_{n-2}+f_{n-1}=f_n$.

10

设 $n\le m$，有

证明：

11

证明：

这里也几次用到了范围的放缩.

12

证明：

13

证明：

$\sum_{i=0}^m(-1)^i(n-i+1)C_{n-i}^{m-i}=(n-m+1)\sum_{i=0}^m(-1)^iC_{n-i+1}^{m-i}$

故即证 $\sum_{i=0}^m(-1)^iC_{n-i+1}^{m-i}=\sum_{i=0}^{n-m+1}\dfrac{(-1)^i}{2^{i+1}}C_{n+2}^{n-m+1-i}$

设 $f(n,m)=\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=0}C_{n-i}^{n-m}$

因为 $f(n,n)=\sum_{i\in[0..n]\land i\bmod2=0}C_{n-i}^0=1+\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor$

故 $f(n,m)=\sum_{i=0}^{n-m+1}\dfrac1{2^{i+1}}C_{n+1}^{n-m+1-i}=\sum_{i=0}^{n-m+1}\dfrac{(-1)^i}{2^{i+1}}C_{n+2}^{n-m+1-i}$

UPD：第 13 个命题是错误的，以下是正确命题：

13 (New)