数学题 1

T1

Statement

求出通项公式：

\[ \sum_{i=1}^ni^32^i \]

Solution

设 \(T_0=\sum_{i=1}^n2^i\)，则 \(T_0=2^{n+1}-2\)

设 \(T_1=\sum_{i=1}^ni2^i\)，则 \(2T_1=\sum_{i=1}^ni2^{i+1}=\sum_{i=1}^{n+1}(i-1)2^i\)

\(T_1=2T_1-T_1=n2^{n+1}-\sum_{i=1}^n2^i=n2^{n+1}-T_0=(n-1)2^{n+1}+2\)

设 \(T_2=\sum_{i=1}^ni^22^i\)，则 \(2T_2=\sum_{i=1}^ni^22^{i+1}=\sum_{i=1}^{n+1}(i-1)^22^i\)

\(T_2=2T_2-T_2=n^22^{n+1}-\sum_{i=1}^n[i^2-(i-1)^2]2^i=n^22^{n+1}-2T_1+T_0=n^22^{n+1}-2(n-1)2^{n+1}-4+2^{n+1}-2=n^22^{n+1}-n2^{n+2}+3\cdot2^{n+1}-6\)

设 \(T_3=\sum_{i=1}^ni^32^i\)，则 \(2T_3=\sum_{i=1}^ni^32^{i+1}=\sum_{i=1}^{n+1}(i-1)^32^i\)

\(T_3=2T_3-T_3=n^32^{n+1}-\sum_{i=1}^n[i^3-(i-1)^3]2^i=n^32^{n+1}-3T_2+3T_1-T_0=n^32^{n+1}-3n^22^{n+1}+3n2^{n+2}-9\cdot2^{n+1}+18+3n2^{n+1}-3\cdot2^{n+1}+6-2^{n+1}+2=n^32^{n+1}-3n^22^{n+1}+9n2^{n+1}-13\cdot2^{n+1}+26\)

故答案为 \(n^32^{n+1}-3n^22^{n+1}+9n2^{n+1}-13\cdot2^{n+1}+26\)

T2

Statement

1. 求第二类斯特林数的一种求解方式
2. 求 Bell 数的一种求解方式

Solution

1：当前数可以新开一个盒子，也可以放入之前的盒子里

\(S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k)\)

边界：\(S(n,1)=1,S(n,0)=0\)，若 \(k>n\)，则 \(S(n,k)=0\)

2：考虑当前数所在集合的大小 \(k\)，那么需要选出 \(k-1\) 个数与之配成一个集合

故 \(\text{Bell}_n=\sum_{k=1}^nC_{n-1}^{k-1}\cdot\text{Bell}_{n-k}\)

边界：\(\text{Bell}_0=\text{Bell}_1=1\)

注意：这个式子虽然与 OI-Wiki 上的不同，但它确实是对的

T3

Statement

给出 Eulerian 数的一种求解方式。

Solution

当前数一定是当前最大的数，若插入前面一组“上升”数之间或第一位，上升数不变；若插入一组“下降”数之间或序列末尾，上升数 +1.

故 \(E(n,k)=(k+1)\cdot E(n-1,k)+(n-k)\cdot E(n-1,k-1)\)

边界：若 \(n\ge0\)，\(E(n,0)=1\)；若 \(n>0\)，\(E(n,n)=0\)

T4

Statement

求第一类斯特林数的一种求解方式

Solution

当前数可以新开一个单独的轮换，也可以插入到之前的轮换中

若是插入之前的轮换 \([A,B,C,D]\)，插到首尾是一样的，故有 \(n-1\) 种情况

故 \(s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)\cdot s(n-1,k)\)

边界：\(s(n,0)=[n=0],s(n,n)=1\)