双模数问题 题解

Statement

$S(n,m)=\{k\mid k\in\mathbb N^+\land n\bmod k+m\bmod k\ge k\}$，求 $\varphi(n)\varphi(m)\sum_{k\in S(n,m)}k\pmod{998244353}$（$n,m\le10^{15}$）

Solution

欧拉函数怎么求就不说了，可以 $\mathcal O(\sqrt n)$ 解决

$n\bmod k+m\bmod k\ge k$ 相当于 $\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac mk\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n+m}k\right\rfloor-1$

即 $\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac mk\right\rfloor+1=\left\lfloor\dfrac{n+m}k\right\rfloor$

因为 $\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor$ 和 $\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor$ 和 $\left\lfloor\dfrac{n+m}k\right\rfloor$ 最多 $\sqrt n$ 种（1e15+1e15=2e15），直接大力整除分块，还是 $\mathcal O(\sqrt n)$，能过