数学基础

1. 倍数筛法

vector<int> p[N]; // 约数
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j <= n; j += i)
        p[j].push_back(i);

1. 在 \(\mathcal O(n\log n)\) 时间内生成每个数的约数表
2. 说明了 \(n\) 以内每个数倍数的总个数、每个数约数的总个数都是 \(\mathcal O(n\log n)\) 的

2. 唯一分解定理

正整数 \(n\) 和末尾非零的指数序列一一对应

\(n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\cdot\!\cdot\!\cdot\cdot p_k^{\alpha_k}\)（非零映射形式）

\(k\) 次约数函数：\(\displaystyle \sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k\)

• \(\sigma_0(n)=(\alpha_1+1)\cdot(\alpha_2+1)\cdot\cdot\!\cdot\!\cdot\cdot(\alpha_k+1)\)（约数个数和）
• \(\sigma_1(n)=\left(1+p_1+\cdots+p_1^{\alpha_1}\right)\cdot \left(1+p_2+\cdots+p_2^{\alpha_2}\right)\cdot\cdot\!\cdot\!\cdot\cdot\left(1+p_k+\cdots+p_k^{\alpha_k}\right)=\prod_{i\in[1..k]}\left(\sum_{j\in[0..\alpha_i]}p_i^j\right)\)（约数和）

质因数分解 \(n!(n\le10^6)\)：

一个质因数 \(p\) 在 \(n!\) 中的出现次数 \(=\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac n{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac n{p^3}\right\rfloor+\cdots\)

算这个复杂度 \(\mathcal O(\log n)\).

3. 埃氏筛法

int vis[N]; // 不是质数
vector<int> p[N]; // 质因数
for (int i = 2; i <= n; i++)
    if (!vis[i]) {             // i 是质数
        p[i].push_back(i);     // 标记 i 是 i 的质因数
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) {
            vis[j] = 1;        // 标记 j 不是质数
            p[j].push_back(i); // 标记 i 是 j 的质因数
        }
    }

筛质数、找每个数的质因数

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示 \([1..n]\) 中与 \(n\) 互质的数的个数

设 \(n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\cdot\!\cdot\!\cdot\cdot p_k^{\alpha_k}\)（非零映射形式）

则 \(\varphi(n)=n\left(1-\dfrac1{p_1}\right)\left(1-\dfrac1{p_2}\right)\cdots\left(1-\dfrac1{p_k}\right)\)

单个求解：\(\mathcal O(\sqrt n)\) 找到 \(n\) 的所有质因数，然后公式求解

前 \(n\) 个一起算：\(\mathcal O(n\log\log n)\) 找完每个数的所有质因数种类，每多找到一个质因数就多算一次

4. 欧氏筛法（线性筛）

设 \(\text P(x)\) 为 \(x\) 最小质因子，\(x\) 可以唯一表示成 \(x=\text P(x)\times i\) 的形式

对于每个合数 \(x\)，若只被 \(x=\text P(x)\times i\) 形式不重不漏地枚举，就能保证复杂度为 \(\mathcal O(n)\)

循环外层是 \(i\)，内层 \(p_j=\text P(x)\)，为了保证 \(p_j\) 是 \(x=i\cdot p_j\) 最小的质因数，须有 \(p_j\le \text P(i)\)

vector<int> p; // 质数
int mnp[N]; // 最小质因子
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (!mnp[i]) p.push_back(i); // 添加 p[0]=1
    for (int j = 0; p[j] <= mnp[i] && i * p[j] <= n; j++)
        mnp[i * p[j]] = p[j];
}

另一个板子

vector<int> p; // 质数
int vis[N]; // 不是质数
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!vis[i]) p.push_back(i);
    for (int v : p) {
        if (i * v > n) break;
        vis[i * v] = 1;
        if (!(i % v)) break; // 相当于 v = P(i)，因为它是第一个整除 i 的质数
    }
}

线性筛 \(\text{DP}\) 化问题

\(n\) 由 \(\dfrac n{\text P(n)}\) 递推而来

设 \(l(n)\) 是 \(n\) 的质因数列表，\(l(n)=l\left(\dfrac n{\text P(n)}\right)+\big(\text P(n)\big)\)

设 \(s(n)\) 是 \(n\) 的所有质因数的和（重复算多次），\(s(n)=s\left(\dfrac n{\text P(n)}\right)+\text P(n)\)

\(\varphi(n)=\begin{cases}\varphi\left(\dfrac n{\text P(n)}\right)\cdot(\text P(n)-1)\ \ \ \ \ &(n\text{ 为合数}\land \text P(n)\nmid\dfrac n{\text P(n)})\\\varphi\left(\dfrac n{\text P(n)}\right)\cdot\text P(n)&(n\text{ 为合数}\land\text P(n)\mid\dfrac n{\text P(n)})\\n-1&(n\text{ 为质数})\\1&(n=1)\end{cases}\)

5. 几个复杂度、结论和证明

整数 \(i\) 的质因数个数（可重复）\(\le\log_2i\in\mathcal O(\log i)\)

斯特林公式：\(n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac ne\right)^n\)

对数求和：\(\sum_{i=1}^n\ln i=\ln(n!)\sim\ln(\sqrt{2\pi n})+\ln n^n-\ln e^n\in\mathcal O(n\ln n)\)

调和数列求和：\(\sum_{i=1}^n\dfrac1i\sim\ln n+\gamma\in\mathcal O(\ln n)\)（\(\gamma\) 是欧拉函数，\(\gamma=0.5772\cdot\!\cdot\cdot\)）

调和级数求和渐进界初等证明：

\(H_n=\dfrac11+\left(\dfrac12+\dfrac13\right)+\left(\dfrac14+\dfrac15+\dfrac16+\dfrac17\right)+\left(\dfrac18+\dfrac19+\cdots+\dfrac1{15}\right)+\cdots+\left(\cdots+\dfrac1n+0+0+\cdots\right)\)

取 \(2^m\le n<2^{m+1}\)，其中 \(m\in\mathbb N\)

\(H_n\le\dfrac11+\left(\dfrac12+\dfrac12\right)+\left(\dfrac18+\cdots+\dfrac18\right)+\cdots+\dfrac1{2^{m+1}}\times2^{m+1}\le m+1\in\text O(\log n)\)

\(H_n\ge\dfrac12+\left(\dfrac14+\dfrac14\right)+\left(\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18\right)+\left(\dfrac1{16}+\cdots+\dfrac1{16}\right)+\cdots+\dfrac1{2^{m+1}}\times2^m+0\ge\dfrac m2\in\Omega(\log n)\)

质数定理：\(p=(2,3,5,7,11,\dots)\)，\(p_n\sim n\ln n\)；\(\pi(n)\) 表示 \(n\) 以内质数的个数，\(\pi(n)\sim\dfrac n{\ln n}\)

质数倒数和：\(\sum_{i=1}^{\pi(n)}\dfrac1{p_i}\sim\sum_{i=2}^{n/\ln n}\dfrac1{i\ln i}\in\mathcal O(\ln\ln n)\)

故埃氏筛法复杂度 \(\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac n3\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac n5\right\rfloor\cdots+\left\lfloor\dfrac n{p_{\pi(n)}}\right\rfloor\le\dfrac n2+\dfrac n3+\dfrac n5+\cdots+\dfrac n{p_{\pi(n)}}\in\mathcal O(n\ln\ln n)\)

1. 在 \(\mathcal O(n\ln\ln n)\) 的时间内求出每个数的质因数种类、每个质数
2. \(n\) 以内每个质数倍数的总个数、每个数的质因数种类数的总数都是 \(\mathcal O(n\ln\ln n)\) 的

感性理解 \(\varphi(n)=n\left(1-\dfrac1{p_1}\right)\left(1-\dfrac1{p_2}\right)\cdots\left(1-\dfrac1{p_k}\right)\)：

\(n\) 每个质因数的倍数都不与 \(n\) 互质，而一个质因数 \(p_i\) 的倍数大概应该占其中的 \(\dfrac1{p_i}\)，每次乘一遍筛掉这些倍数

严格证明（容斥）：

设 \(n\) 有两个不同质因数 \(p,q\)，我们需要筛掉 \(n\) 以内 \(p\) 和 \(q\) 的所有倍数，即 \(n-\dfrac np-\dfrac nq+\dfrac n{pq}\)，先筛 \(p\)，再筛 \(q\)，最后加上重复筛的 \(pq\)

发现是容斥，可以改写成 \(n\left(1-\dfrac1p\right)\left(1-\dfrac1q\right)\)

同理，若 \(n\) 有若干个质因子 \(p_1,p_2,\dots,p_k\)，全部筛完后剩余的数即为与 \(n\) 互质的数，故 \(\varphi(n)=n\left(1-\dfrac1{p_1}\right)\left(1-\dfrac1{p_2}\right)\cdots\left(1-\dfrac1{p_k}\right)\).

欧拉函数的积性：若 \(\gcd(a,b)=1\)，有 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)

因为 \(\gcd(a,b)=1\)，\(a\) 与 \(b\) 没有公共质因子，故用上面的算式可以证到

6. 小结

1. 倍数筛法
   • 筛掉每个数的所有倍数
   • \(\mathcal O(n\ln n)\)
   • \(n\) 以内每个数的所有倍数：\(\mathcal O(n\ln n)\)
   • \(n\) 以内每个数的所有约数：\(\mathcal O(n\ln n)\)
2. 埃氏筛法
   • 筛掉每个质数的所有倍数
   • \(\mathcal O(n\ln\ln n)\)
   • \(n\) 以内每个质数的所有倍数：\(\mathcal O(n\ln\ln n)\)
   • \(n\) 以内每个数的质因数种类数：\(\mathcal O(n\ln\ln n)\)
3. 欧氏筛法
   • 筛掉每个质数作为最小质因数时的所有倍数
   • \(\mathcal O(n)\)
   • \(n\) 以内每个数乘上不超过这个数的最小质因数的每个质数：\(\mathcal O(n)\)
   • \(n\) 以内每个数的最小质因数：\(\mathcal O(n)\)

两个重要结论

• 质数定理：\(p_n\sim n\ln n\)，\(\pi(n)\sim\dfrac n{\ln n}\)
• 斯特林公式：\(n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac ne\right)^n\)

三种数列求和的渐进表示

• \(\sum_{i=1}^n\dfrac1i\in\mathcal O(\ln n)\)
• \(\sum_{i=1}^{\pi(n)}\dfrac1{p_i}\sim\sum_{i=2}^{n/\ln n}\dfrac1{i\ln i}\in\mathcal O(\ln\ln n)\)
• \(\sum_{i=2}^n\log i\in\mathcal O(n\log n)\)

可用定积分证明两个渐进复杂度

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1. 约数个数与根号

正整数 \(n\) 的所有约数按乘起来为 \(n\) 为原则，两两配对

设 \(pq=n\)，且 \(0<p\le\sqrt n\)，则有 \(q\ge\sqrt n\)

\(n\) 的约数个数不超过 \(2\sqrt n\in\mathcal O(\sqrt n)\)

2. 分解质因数与大质因数性质

若对 \(n\) 以内所有数质因数分解，筛法找到质因数种类后逐个除法，不超过 \(\mathcal O(n\log n)\)

单个数：暴力

for (int i = 2, q = n; q != 1; i++)
    for (; q % i == 0; q /= i) fac[++cnt] = i;

优化 1：只枚举质数

性质：任何一个正整数 \(n\)，大于 \(\sqrt n\) 的质因数最多 \(1\) 个

证明：若有 \(2\) 个，显然不行

优化 2：若 \(i>\sqrt q\)，则 \(q\) 是唯一最大的质因数，可停止分解

例题：给出 \(l,r(1\le l\le r\le10^{14})\)，问有多少 \(x\) 满足 \(x\mid r\) 且 \(l\mid x\).

首先判断 \(l\mid r\)，然后质因数分解 \(\frac rl\)，再算出它有多少个约数.

例题：给出 \(n(n\le 10^{12})\)，求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\)

利用 \(\sqrt n\) 进行分类讨论：

• \(i\le\sqrt n\)：直接算

• \(i>\sqrt n\)：则所有可能的 \(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\) 一共 \(\sqrt n\) 种

  故枚举 \(x=\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\)，它对应的 \(i\) 的范围：\(\left[\left\lfloor\dfrac n{x+1}\right\rfloor+1,\left\lfloor\dfrac nx\right\rfloor\right]\)，每次 \(\mathcal O(1)\) 乘起来即可

3. 约数个数更严格的界

结论：\(n\) 的约数个数 \(d(n)\le n^{\frac c{\ln\ln n}}\)

其中 \(c=1.066\)，为 \(n=6983776800=2^5\times3^3\times5^2\times7\times11\times13\times17\times19\) 时取等

分析复杂度时使用，需要记忆形式和常数 \(c\)

\(\mathcal O(\sqrt n)\) 的复杂度仍然有意义：例如某算法复杂度为 \(\mathcal O(d(n)^3)\)，则先花 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 的时间找所有约数也是值得的

4. 单个 \(n\) 的质因数种数

结论：用 \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 质因数的种数，有 \(\omega(n)\in\mathcal O\left(\frac{\ln n}{\ln\ln n}\right)\)

证明：设 \(k=\omega(n)\) 构造最坏情况

\[ n\ge2\times3\times5\times7\times\cdots\times p_k\ge1\times2\times3\times\cdots\times k=k! \]

两边取对数

\[ \ln n\ge\ln(k!)\sim\ln\sqrt{2\pi k}\left(\dfrac{k^k}{e^k}\right)=k\ln k-k+\ln\sqrt{2\pi k}\sim k\ln k \]

故令 \(k\sim\dfrac{\ln n}{\ln\ln n}\)，则有

\[ k\ln k\sim\dfrac{\ln n}{\ln\ln n}\ln\dfrac{\ln n}{\ln\ln n}=\ln n-\dfrac{\ln n\ln\ln n}{\ln\ln n}\le\ln n \]

5. 小结

各种上界

• 质因数种数 \(\omega\)
  • 单个正整数 \(n\)：\(\mathcal O\left(\dfrac{\ln n}{\ln\ln n}\right)\)
  • \(n\) 以内所有正整数：\(\mathcal O(n\ln\ln n)\)
• 质因数个数
  • 单个正整数 \(n\)：\(\mathcal O(\ln n)\)
  • \(n\) 以内所有正整数：\(\mathcal O(n\ln n)\)
• 约数个数 \(d\)
  • 单个正整数 \(n\)：\(\le2\sqrt n\) 或 \(\le n^{c/\ln\ln n}\)
  • \(n\) 以内所有正整数：\(\mathcal O(n\ln n)\)

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