一维随机游走的一个技巧

假设在数轴上有一个点，一开始在原点，每次回等概率的往左或往右移动一个单位距离，求移动$n$次后距离原点的期望

答案是$E(n)=\sqrt{n}$

因为距离存在绝对值，直接用定理推期望会有亿点问题，我们可以考虑距离的平方的期望

$E(n)^2=\frac{1}{2}(E(n-1)+1)^2+\frac{1}{2}(E(n-1)-1)^2=E(n-1)^2+1$
于是可以得到$E(n)^2=n$

有什么用呢？

给你一个序列
假设你要求的一个最优的匹配是长这样

那么DP的时候需要记录差值，这样最优情况的差值在某一时刻，DP数组可能要开到$n/2$的级别，那时间复杂度就是$O(n^2)$的

然而如果你把这个序列一开始就随机打乱，那么最优解的任意时刻差值大概率就是$<\sqrt{n}$级别的了，所以只需考虑差值在$\sqrt{n}$以下的，所以时间复杂度变为$O(n\sqrt{n})$