浅谈01分数规划

我扔:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1642

这题是一道很好的01分数规划的入门题

为啥叫做01分数规划呢？

首先和01有什么关系？

这类问题一般是给定一堆 $a[i]$ 和 $b[i]$ ,然后如果选了$a[i]$就必须选$b[i]$ 感性理解一下， 就是比如说选第i个物品会有$a[i]$的收益，但是有$b[i]$的花费， 求 $\frac{选出来的a[i]}{选出来的b[i]}$ 最大。
于是就可以多定义一个 $x[1...n]$ 数组, $x[i]$ 为0或1表示选或不选，则对于每种$x[1...n]$的答案可以表示为

$\sum \frac{a[i]\times x[i]}{b[i]\times x[i]}$

那么这类问题称为01分数规划问题

那怎么做呢？

假设答案为
$ANS=\sum \frac{a[i]\times x[i]}{b[i]\times x[i]}$
则$ANS\times \sum b[i]\times x[i]=\sum a[i]\times x[i]$
$\sum a[i]\times x[i]-ANS\times \sum b[i]\times x[i]=0$
$x[i]\times \sum (a[i]-ANS\times b[i])=0$
令$d[i]=a[i]-ANS\times b[i]$
通常是规定了选几个，所以只需要按照$d[i]$的大小来选就可以了，

那ANS呢？

直接二分啊！！！
此题代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000005
#define INF 23333333
using namespace std;
const double eps = 0.000001;
struct edge{	
	int v, nxt;
}e[N];
int p[N], eid;
void init(){
	memset(p, -1, sizeof p);
	eid = 0;
}
void insert(int u, int v){
	e[eid].v = v;
	e[eid].nxt = p[u];
	p[u] = eid ++;
}
double f[105][105], d[105];
int vis[105], size[105], n, m, a[105], b[105];
void dfs(int x){//简单的树dp， f[i][j]表示第 i 个点， 选 j 个的方案数， 其中 i 必须选 
	vis[x] = 1; size[x] = 1;
	f[x][1] = d[x];f[x][0] = 0;
	for(int i = p[x]; i + 1; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].v;
		if(vis[v]) continue;
		dfs(v); size[x] += size[v];
		for(int j = min(m, size[x]); j >= 1; j --){
			for(int k = 0; k < j; k ++){
				f[x][j] = max(f[x][j], f[x][j - k] + f[v][k]);
			}
		}
	}
}
int check(double x){
	for(int i = 1; i <= n; i ++) d[i] = a[i] * 1.0 - b[i] * 1.0 * x, vis[i] = 0, size[i] = 0; //求 d[i] 
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 0; j <= m; j ++) f[i][j] = -INF;
	dfs(1);
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		if(f[i][m] > -eps) return 1; //如果有满足要求的就退出 
	}
	return 0;
}
int main(){
	init();
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &b[i]);
	m = n - m;
	for(int i = 1; i < n; i ++){
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		insert(u, v);
		insert(v, u);
	}	
	double l = 0, r = 100000;
	while(l + eps < r){ //二分答案 
		double mid = (l + r) * 1.0 / 2.0;
		if(check(mid)) l = mid;
		else r = mid;
	}
	printf("%.1f", l);
	return 0;
}

emmmmmm……
再推荐几道入门题（前两题转换为求01分数规划判断负环即可）：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1768
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2868
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1730 （暴力SPFA预处理答案）