浅谈二次剩余

本文只讨论p为奇质数的情况

下面大量内容借用神仙yyc大佬的blogs

才不是因为我懒

概(che)论(dan)

给$c,p$求解

$$x^2\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

前置芝士

欧拉判别法

首先要知道这个数有没有二次剩余，即 $x^2\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$是否有解
先给出结论：

证明： $$把c^{\frac{p-1}{2}}平方一下变成c^{{(\frac{p-1}{2})}^2}=c^{p-1}=1（根据费马小定理,所以开根后为\pm 1$$
$$当c^{\frac{p-1}{2}}=-1时可以用反证法把x^2=c代入得到x^{p-1}\equiv -1(modp)显然和费马小定理矛盾$$
或者可以直接简单理解一下如果$c^{\frac{p-1}{2}}=-1$说明是在原根环的一个偶数点的位置上，那么必定存在一个位置平方是这个偶数位置

二次剩余个数

$$\frac{p-1}{2}个$$
$$引理：c^2\equiv (p-c{)}^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),就相当于c^2和(-c{)}^2$$

$$我们定义一个奇怪的东西:(\frac{a}{p})表示上面那个东西又叫勒让德符号(legendresymbol)$$

有下列性质:
$$(\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})$$

$$(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\ast \frac{q-1}{2}}$$

其实还是挺容易理解的

算法流程

$假设我们要求n在模p意义下的二次剩余，即x^2\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),求x$
$先随机一个值a使得(a^2-n{)}^{\frac{p-1}{2}}=-1，也就是说a^2-n不是p的二次剩余。$
因为上面说了有$\frac{p-1}{2}$个，所以期望$2$次就能随机到
$然后我们强行将其开根，这样会得到一个类似虚数的东西,准确来说时设w^2=(a^2-n),学过FFT的应该都能理解$
可以证明扩系后仍然是环。
$$引理:(a+b{)}^p=a^p+b^p$$
证明直接二项式展开一下再加上Lucas就好了，详细过程可以看yyc的blog

所以这么随便搞搞就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
struct cp {
	ll x, y;
};
ll mod, w;
cp mul(cp x, cp y) {return cp{(x.x * y.x % mod + x.y * y.y % mod * w % mod) % mod, (x.x * y.y % mod + x.y * y.x % mod) % mod};}//新运算
cp qpow(cp x, int y) {
	cp ret = {1, 0};
	for(; y; y >>= 1, x = mul(x, x)) if(y & 1) ret = mul(ret, x);
	return ret;
}
void Cipolla(int n, int p) {
	mod = p;
	if(!n) {
		printf("0\n");
		return;
	}
	if(p == 2) {
		printf("1\n");
		return;
	}//0， 2特判
	if(qpow(cp{n, 0}, (mod - 1) >> 1).x == mod - 1) {//如果欧拉判别失败
		printf("Hola!\n");
		return;
	}  
	ll a = rand() % mod;
	while(!a || qpow(cp{w = (a * a - n + mod) % mod, 0}, (mod - 1) >> 1).x == 1) a = rand() % mod;//随机一个a,求得解
	int x0 = qpow(cp{a, 1}, (mod + 1) >> 1).x, x1 = mod - x0;//求出另外
	if(x0 > x1) swap(x0, x1);
	if(x0 != x1) printf("%lld %lld\n", x0, x1);
	else printf("%lld\n", x0);
}
int Q;
int main() {
	srand(time(NULL));
	scanf("%d", &Q);
	while(Q --) {
		ll n, p;
		scanf("%lld%lld", &n, &p);
		Cipolla(n, p);
	}
	return 0;
}

to be continue……