浅谈群论Burnside&&Pólya

啥也不会
基本的概念就不讲了
结论我也懒得证明了

看神仙yyc 的blog吧 /se
https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/qun-lun-xiao-ji

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Burnside引理

$$l=\frac{1}{|G|}\sum _{p\in G}c(p)$$
人话翻译：每个置换下的不动点个数的平均数
举个栗子：
经典老图

一共有4种置换

• 旋转0°：16种
• 旋转90°：2种：(1)(2)
• 旋转180°：4种：(1)(2)(3)(4)
• 旋转270°：2种：(1)(2)
  套上面的公式
  $l=\frac{1}{4}(16+2+4+2)=6$
  然后就无了
  在题目中要看出来是Burnside就好了

Pólya 定理

感觉是Burnside的具体化

假设一个置换有$k$个循环，每个循环的颜色必须要一样，任意两个循环的互不干扰
如果有$m$种颜色可选，那么这个置换对应的不动点个数就是$m^k$
所以把Burnside种的$c(p)$改成$m^k$就好了
$$l=\frac{1}{|G|}\sum m^{k_i}$$

举个栗子：
上面那种图再拿来用用吧

同样是4种置换

• 旋转0°：4个循环:(1)(2)(3)(4)
• 旋转90°：1个循环:(1 2 3 4)
• 旋转180°：2个循环:(1 3)(2 4）
• 旋转270°:1个循环(1 4 3 2)

然后颜色$m$显然就是2
代入得到
$l=\frac{1}{4}(2^4+2^1+2^2+2^1)=6$
ohhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
然后就得到了一个更加优美的求法

搞一些题目：