luogu P4345 [SHOI2015]超能粒子炮·改

https://www.luogu.com.cn/problem/P4345
首先要知道$Lucas$定理
$$C_n^m\%p=C_{n/p}^{m/p}\times C_{n\%p}^{m\%p}\%p$$
可以理解为把原来变成p进制数然后每位分别算后乘起来
具体证明可以去问Lucas本人自己找吧
然后对于这题，我我们要求的是$$\sum _{i=0}^k{C}_n^i\%p$$
设$f(n,k)=上面那坨$
$$f(n,k)=\sum _{i=0}^k{C}_{n/p}^{i/p}\times C_{n\%p}^{i\%p}\%p$$
仔细想想，如果把最后那个散块单独处理的话这里是可以写成
$$(\sum _{i=0}^{p-1}{C}_{n/p}^i)\times (\sum _{i=0}^{k/p-1}{C}_{n\%p}^i)$$
就是
$$f(n/p,k/p-1)\times f(n\%p,p-1)$$
乘上散块
$$f(n\%p,k\%p)$$
就是答案了
code:

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 2333
#define ll long long
using namespace std;
int c[mod + 5][mod + 5], f[mod + 5][mod + 5];
ll lucas(ll n, ll m) {
    if(n < m) return 0;
    if(n == m || ! m) return 1;
    return 1ll * c[n % mod][m % mod] * lucas(n / mod, m / mod) % mod;
}
ll F(ll n, ll m) {
    if(m < 0) return 0;
    if(!n || !m) return 1;
    if(n <= mod && m <= mod) return f[n][m];
    return (1ll * f[n % mod][mod - 1] * F(n / mod, m / mod - 1) % mod + lucas(n / mod, m / mod) * F(n % mod, m % mod) % mod) % mod;
}
int main() {
    for(int i = 0; i <= mod; i ++) c[i][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= mod; i ++)
        for(int j = 1; j <= i; j ++)
            c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j -  1]) % mod;
    for(int i = 0; i <= mod; i ++) f[i][0] = 1;
    for(int i = 0; i <= mod; i ++)
        for(int j = 1; j <= mod; j ++)
            f[i][j] = (f[i][j - 1] + c[i][j]) % mod;
    
    int t;
    ll n, m;
    scanf("%d", &t);
    while(t --) {
        scanf("%lld%lld", &n, &m);
        printf("%lld\n", F(n, m));
    }
    return 0;
}