luogu P6078 [CEOI2004] Sweets(生成函数入门题)
我的生成函数只有幼儿园水平/kk
https://www.luogu.com.cn/problem/P6078
首先对于一种糖，它的生成函数可以写成这样,封闭形式就是
∑
j
=
0
m
i
x
j
=
1
−
x
m
i
+
1
1
−
x
\large \sum\limits_{j=0}^{m_i}x^j=\frac{1-x^{m_i+1}}{1-x}
j=0∑mixj=1−x1−xmi+1
然后把这些全部乘起来就是答案的对于每个糖果生成函数
∏
i
=
1
n
1
−
x
m
i
+
1
1
−
x
\large \prod\limits_{i=1}^n\frac{1-x^{m_i+1}}{1-x}
i=1∏n1−x1−xmi+1
暴力乘显然不行
考虑先把
1
1
−
n
\frac{1}{1-n}
1−n1拉出来
∏
i
=
1
n
1
−
x
m
i
+
1
1
−
x
=
1
(
1
−
x
)
n
∏
i
=
1
n
(
1
−
x
m
i
+
1
)
\large \prod\limits_{i=1}^n\frac{1-x^{m_i+1}}{1-x} \\=\frac{1}{(1-x)^n}\prod\limits_{i=1}^n(1-x^{m_i+1})
i=1∏n1−x1−xmi+1=(1−x)n1i=1∏n(1−xmi+1)
前面那个通过牛顿二项式定理推广到负数的情况
∑
i
=
0
∞
(
m
+
i
i
)
x
i
=
1
(
1
−
x
)
m
+
1
\sum\limits_{i=0}^{\infin}\binom{m+i}{i}x^i=\frac{1}{(1-x)^{m + 1}}
i=0∑∞(im+i)xi=(1−x)m+11
可得
∑
j
=
0
∞
(
n
−
1
+
j
j
)
x
j
∏
i
=
1
n
(
1
−
x
m
i
+
1
)
\large \sum\limits_{j=0}^{\infin}\binom{n-1+j}{j}x^j\prod\limits_{i=1}^n(1-x^{m_i+1})
j=0∑∞(jn−1+j)xji=1∏n(1−xmi+1)
答案显然可以表示为两个系数前缀和相减的结果，这里先只考虑一个
x
b
x^b
xb的系数前缀和
考虑，那么这个次数对答案的贡献(生成函数对应项系数)可以写成
∑
j
=
0
b
−
k
(
n
−
1
+
j
j
)
×
[
x
k
]
∏
i
=
1
n
(
1
−
x
m
i
+
1
)
\large \sum\limits_{j=0}^{b-k}\binom{n-1+j}{j}\times[x^k]\prod\limits_{i=1}^n(1-x^{m_i+1})
j=0∑b−k(jn−1+j)×[xk]i=1∏n(1−xmi+1)
前面那个组合数求和可以化简,最后写成
(
n
+
b
−
k
n
)
×
[
x
k
]
∏
i
=
1
n
(
1
−
x
m
i
+
1
)
\binom{n+b-k}{n}\times[x^k]\prod\limits_{i=1}^n(1-x^{m_i+1})
(nn+b−k)×[xk]i=1∏n(1−xmi+1)
因为
n
n
n很小，所以对于右边那个直接大力dfs枚举每类糖果选或不选，然后大力乘上系数前缀和求和即可
到这里这道题的重点就做完了
后面是关于模数非质数，可能存在没有逆元的情况，具体的解决办法就是先把模数乘上除数，计算完之后再除回去得到答案
具体证明：
摘自巨佬Rui_R的blog
code:
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 2004
#define ll long long
using namespace std;
ll fac = 1;
ll C(int n, int m) {
ll MOD = mod * fac, ans = 1;
for(int i = n - m + 1; i <= n; i ++) ans = ans * i % MOD;
return (ans / fac) % mod;
}
ll ans;
int a[15], n, l, r;
void dfs(int x, int o, int mi, int lim) {
if(mi > lim) return ;
if(x > n) {
ans += C(n + lim - mi, n) * o % mod; ans %= mod;
return ;
}
dfs(x + 1, o, mi, lim), dfs(x + 1, mod - o, mi + a[x] + 1, lim);
}
int calc(int lim) {
ans = 0; dfs(1, 1, 0, lim);
return ans;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &l, &r);
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
scanf("%d", &a[i]);
fac *= i;
}
printf("%lld", (calc(r) - calc(l - 1) + mod) % mod);
return 0;
}
