具体数学笔记 （第四章 数论）
p
n
∼
n
ln
n
π
(
x
)
∼
x
ln
x
p_n \sim n \ln n \\ ~~ \\ \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}
pn∼nlnn π(x)∼lnxx
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n
n!∼2πn(en)n
4.7 独立剩余
x m o d 3 = y m o d 3 且 x m o d 5 = y m o d 5 ⟺ m o d 15 = y m o d 15 x \mod 3=y\mod 3 且x \mod 5=y\mod 5 \\ \iff \mod 15=y\mod 15 xmod3=ymod3且xmod5=ymod5⟺mod15=ymod15
应用
( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) (p-1)! \equiv-1(\mod p) (p−1)!≡−1(modp)
ϕ \phi ϕ函数和 μ \mu μ函数
gcd ( a , p ) = 1 ⇒ a ϕ ( p ) ≡ 1 ( m o d p ) \gcd(a, p) =1 \Rightarrow a^{\phi(p)} \equiv1(\mod p) gcd(a,p)=1⇒aϕ(p)≡1(modp)
ϕ ( n ) = ∑ d ∣ n μ ( d ) n d \phi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d} ϕ(n)=d∣n∑μ(d)dn
(感觉没啥牛逼的东西，不如咕咕咕咕了吧)
