具体数学笔记 （第六章 特殊的数）
6.1 斯特林数
之前写过：斯特林数及其反演
一些乱七八糟重要的恒等式：
第二类斯特林数可以用来处理次幂问题
x
n
=
∑
k
{
n
k
}
x
k
‾
=
∑
k
{
n
k
}
(
x
k
)
k
!
x^n=\sum_k \begin{Bmatrix}n \\ k\end{Bmatrix}x^{\underline{k}}=\sum_k \begin{Bmatrix}n \\ k\end{Bmatrix}\binom{x}{k}k!
xn=k∑{nk}xk=k∑{nk}(kx)k!
用归纳法可以简单证明
对这个做二项式反演可以得到：
{
n
m
}
=
1
m
!
∑
k
(
−
1
)
m
−
k
(
m
i
)
i
n
\begin{Bmatrix}n \\ m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_k(-1)^{m-k}\binom{m}{i}i^n
{nm}=m!1k∑(−1)m−k(im)in
类似的，我们可以得出
x
n
‾
=
∑
k
[
n
k
]
x
k
x^{\overline{n}}=\sum_k \begin{bmatrix}n \\ k\end{bmatrix}x^{k}
xn=k∑[nk]xk
上面这两个式子还可以推出
x
n
=
∑
k
{
n
k
}
(
−
1
)
n
−
k
x
k
‾
x^n=\sum_k \begin{Bmatrix}n \\ k\end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^{\overline{k}}
xn=k∑{nk}(−1)n−kxk
x
n
‾
=
∑
k
[
n
k
]
(
−
1
)
n
−
k
x
k
x^{\underline{n}}= \sum_k\begin{bmatrix}n \\ k\end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^k
xn=k∑[nk](−1)n−kxk
是不是感觉二项式反演很像，然而却是和斯特林反演有一些关系
第一条很容易证明，发现上升幂和下降幂隔一项取一个相反数，所以可以直接凑个
(
−
1
)
n
−
k
(-1)^{n-k}
(−1)n−k上去
第二条可以直接归纳，也可以考虑
x
n
‾
=
(
−
1
)
n
(
−
x
)
n
‾
=
(
−
1
)
n
∑
k
[
n
k
]
(
−
x
)
k
=
∑
k
[
n
k
]
(
−
1
)
n
−
k
x
k
x^{\underline{n}}=(-1)^n(-x)^{\overline{n}}=(-1)^n\sum_k \begin{bmatrix}n \\ k\end{bmatrix}(-x)^{k}= \sum_k\begin{bmatrix}n \\ k\end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^k
xn=(−1)n(−x)n=(−1)nk∑[nk](−x)k=k∑[nk](−1)n−kxk
把次幂转上升幂的再把上升幂转换成次幂可以得到反转公式
∑
k
[
n
k
]
{
k
m
}
(
−
1
)
n
−
k
=
[
n
=
m
]
\sum_k\begin{bmatrix} n \\ k\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}k \\ m\end{Bmatrix}(-1)^{n-k}=[n=m]
k∑[nk]{km}(−1)n−k=[n=m]
还有
[
n
k
]
=
{
−
k
−
n
}
\begin{bmatrix} n \\ k\end{bmatrix}=\begin{Bmatrix}-k \\ -n\end{Bmatrix}
[nk]={−k−n}
6.2欧拉数
感觉对OI帮助不大，不过多少了解了一下
表示长度为n的，有k个升高的排列个数
几个基本的恒等式
⟨
n
k
⟩
=
(
k
+
1
)
⟨
n
−
1
k
⟩
+
(
n
−
k
)
⟨
n
−
1
k
−
1
⟩
\left\langle\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right\rangle=(k+1)\left\langle\begin{matrix}n-1 \\ k\end{matrix}\right\rangle+(n-k)\left\langle\begin{matrix}n-1 \\ k-1\end{matrix}\right\rangle
⟨nk⟩=(k+1)⟨n−1k⟩+(n−k)⟨n−1k−1⟩
⟨
n
k
⟩
=
⟨
n
n
−
k
−
1
⟩
\left\langle\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right\rangle=\left\langle\begin{matrix}n \\ n-k-1\end{matrix}\right\rangle
⟨nk⟩=⟨nn−k−1⟩
x
n
=
∑
k
⟨
n
k
⟩
(
x
+
k
n
)
x^n=\sum_k\left\langle\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right\rangle\binom{x+k}{n}
xn=k∑⟨nk⟩(nx+k)
同样都可以用归纳法证明
6.5伯努利数
没太看懂……
6.6斐波那契数
F
n
+
k
=
F
k
F
n
+
1
+
F
k
−
1
F
n
gcd
(
F
n
,
F
m
)
=
F
gcd
(
n
,
m
)
F_{n+k}=F_kF_{n+1}+F_{k-1}F_n \\ \gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)}
Fn+k=FkFn+1+Fk−1Fngcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)
每一个正整数都有唯一的表示方法用fib数
考虑生成函数，可以发现
F
(
x
)
−
x
F
(
x
)
−
x
2
F
(
x
)
=
x
F(x)-xF(x)-x^2F(x)=x
F(x)−xF(x)−x2F(x)=x
解得封闭形式为
F
(
x
)
=
x
1
−
x
−
x
2
F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}
F(x)=1−x−x2x
我们断言这个东西可以写成
x
1
−
x
−
x
2
=
a
1
−
r
1
x
+
b
1
−
r
2
x
\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{a}{1-r_1x}+\frac{b}{1-r_2x}
1−x−x2x=1−r1xa+1−r2xb
原式对应的特征方程为
x
2
−
x
−
1
x^2-x-1
x2−x−1把它的特征根解出来
r
1
,
r
2
r_1,r_2
r1,r2
然后再带两个数把
a
,
b
a,b
a,b解出来
根据生成函数可得
[
n
]
F
(
x
)
=
a
r
1
n
+
b
r
2
n
[n]F(x)=ar_1^n+br_2^n
[n]F(x)=ar1n+br2n
可以看看这篇blog多项式计数预备知识
6.7连项式
啥玩意，不会/kk
